(2)下列数列(xn)中,极限不存在的是 () .-|||-(A) _(n)=((-1))^nn (B) _(n)=((-1))^ndfrac (1)(n)-|||-(C) _(n)=2+dfrac (1)({n)^2} (D) _(n)=dfrac (1)({3)^n}

考查要点：本题主要考查数列极限的存在性判断，重点在于识别数列是否收敛或发散。

解题核心思路：

1. 极限存在的条件：数列收敛到某个固定实数，即当$n$趋近无穷时，数列值无限接近该数。
2. 极限不存在的常见情况：
   • 数列发散（如绝对值无限增大）；
   • 数列在有限个值之间无限震荡（如交替符号但绝对值不趋于0）。

破题关键点：

• 选项A：$x_n = (-1)^n n$，符号交替且绝对值无限增大，属于发散数列，极限不存在。
• 其余选项均通过分析通项表达式趋势，判断其收敛性。

选项分析

(A) $x_n = (-1)^n n$

• 符号交替：当$n$为偶数时，$x_n = n$（正数）；当$n$为奇数时，$x_n = -n$（负数）。
• 绝对值发散：无论$n$是奇数还是偶数，$|x_n| = n$，当$n \to \infty$时，$|x_n| \to +\infty$。
• 结论：数列在$+\infty$和$-\infty$之间无限震荡，极限不存在。

(B) $x_n = (-1)^n \dfrac{1}{n}$

• 符号交替：$(-1)^n$导致符号交替。
• 绝对值趋于0：$\dfrac{1}{n} \to 0$（当$n \to \infty$）。
• 夹逼定理：$|x_n| = \dfrac{1}{n} \to 0$，故$x_n \to 0$。
• 结论：极限存在，为$0$。

(C) $x_n = 2 + \dfrac{1}{n^2}$

• 分解分析：$2$为常数项，$\dfrac{1}{n^2} \to 0$（当$n \to \infty$）。
• 和的极限：$x_n \to 2 + 0 = 2$。
• 结论：极限存在，为$2$。

(D) $x_n = \dfrac{1}{3^n}$

• 指数衰减：$3^n$增长极快，$\dfrac{1}{3^n}$趋近于$0$。
• 极限：$x_n \to 0$。
• 结论：极限存在，为$0$。