题目

题目：[例6.12]设由线 =y(x)(ygt 0) 上任一点M(x,y)处的切线与x轴交于点N,且-|||-|OM|=|ON| (0)=1, '(x)gt 0, 求 =y(x).0)(上任一点)M(x,y)(处的切线与)x(轴交于点)N(,且) &|OM|=|ON|_(}^),y(0)=1,y^(prime(x)>0,{求 )y=y(x).. " data-width="652" data-height="91" data-size="17032" data-format="png" style="max-width:100%">

题目： $\begin{aligned} &\text{1} \\ &[\text{例 6.12】设由线 }y=y(x)(y>0)\text{上任一点}M(x,y)\text{处的切线与}x\text{轴交于点}N\text{,且} \\ &\left|OM\right|=\left|ON|_{}^{},y(0)=1,y^{\prime}(x)>0,\text{求 }y=y(x).\right. \end{aligned}$

题目解答

答案

解答： $\begin{aligned} &\text{首先,根据已知条件,我们可以得到点M 到原点O 的距离为} \\ &|OM|=\sqrt{x^2+y^2}\text{,点N到原点0 的距离为 }|ON|=y\text{。} \\ &\text{根据题意可知,}|OM|=|ON|\Rightarrow\sqrt{x^2+y^2}=y\text{。} \\ &\text{为了简化方程,我们将等式两边平方,得到 }x^2+y^2=y^2\text{。} \\ &\text{进一步消去平方项,得到 }x^2=0\text{。} \\ &\text{由于 }y^{\prime}(x)>0\text{,所以导数存在,解得 }x=0\text{。} \\ &\text{代入初始条件 }y(0)=1\text{,得到 }y=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{0^2+1^2}=1 \\ &\text{因此,所求的曲线方程为 }y=1。 \\ &\text{综上所述,解题过程如上所示,最终得到曲线方程 }y=1. \end{aligned}$