103、设 A、B、C 三个事件两两独立，则 A、B、C 相互独立的充分必要条件是（）。A. A 与 BC 独立B. AB 与 A∪C 独立C. AB 与 AC 独立D. A∪B 与 A∪C 独立

考查要点：本题主要考查三个事件两两独立与相互独立的关系，需要理解独立性的定义及条件之间的逻辑关系。

解题核心思路：
在已知三个事件两两独立的前提下，寻找一个额外条件，使得它们能够满足相互独立的条件。关键在于验证每个选项是否能推出 $P(ABC) = P(A)P(B)P(C)$。

破题关键点：

• 两两独立仅保证每对事件独立，但无法保证三个事件同时独立。
• 相互独立要求所有子集的交概率均等于各自概率的乘积，特别是 $P(ABC) = P(A)P(B)P(C)$。
• 需逐一分析选项，判断其是否能推导出 $P(ABC) = P(A)P(B)P(C)$。

选项A：A与BC独立

条件分析：
若 $A$ 与 $BC$ 独立，则根据独立性定义：
$P(A \cap BC) = P(A)P(BC).$
由于 $A$ 与 $B$、$A$ 与 $C$ 两两独立，且 $B$ 与 $C$ 也独立（题目已给），可得：
$P(BC) = P(B)P(C).$
因此，原式变为：
$P(ABC) = P(A)P(B)P(C).$
这正是三个事件相互独立的充要条件，故选项A正确。

选项B：AB与A∪C独立

条件分析：
若 $AB$ 与 $A \cup C$ 独立，则：
$P(AB \cap (A \cup C)) = P(AB)P(A \cup C).$
由于 $AB \cap (A \cup C) = AB$（$AB$ 是 $A$ 的子集），等式化简为：
$P(AB) = P(AB)P(A \cup C).$
若 $P(AB) \neq 0$，两边除以 $P(AB)$ 得：
$1 = P(A \cup C).$
这要求 $A \cup C$ 必然发生，但题目未给出此条件，因此选项B不成立。

选项C：AB与AC独立

条件分析：
若 $AB$ 与 $AC$ 独立，则：
$P(AB \cap AC) = P(AB)P(AC).$
左边为 $P(A \cap B \cap C) = P(ABC)$，右边为 $P(AB)P(AC) = P(A)P(B) \cdot P(A)P(C) = P(A)^2 P(B)P(C)$。
结合两两独立条件，得：
$P(ABC) = P(A)^2 P(B)P(C).$
若 $P(ABC) = P(A)P(B)P(C)$，则需 $P(A) = 1$ 或 $P(A) = 0$，但这仅在特定情况下成立，无法保证一般情况，故选项C错误。

选项D：A∪B与A∪C独立

条件分析：
若 $A \cup B$ 与 $A \cup C$ 独立，则：
$P((A \cup B) \cap (A \cup C)) = P(A \cup B)P(A \cup C).$
展开左边得：
$P(A \cup (B \cap A \cup C)) = P(A) + P(B) - P(AB) + \cdots$
此条件涉及多个概率项，无法直接推导出 $P(ABC) = P(A)P(B)P(C)$，故选项D不成立。