为防止意外，在矿内同时设有两种报警系统A与B，每种系统单独使用时，其有效的概率系统A为0.92，系统B为0.93，在A失灵的条件下，B有效的概率为0.85，求：(1)发生意外时，这两个报警系统至少有一个有效的概率；(2)B失灵的条件下，A有效的概率.

考查要点：本题主要考查条件概率、全概率公式及事件的独立性应用，重点在于理解事件间的关系并正确运用概率公式进行计算。

解题核心思路：

1. 事件分解：将复杂事件（如至少一个有效）分解为基本事件的组合，利用加法公式计算。
2. 条件概率转换：通过已知条件（如$P(B|\overline{A})$）反推联合概率$P(\overline{A}B)$，再结合全概率公式求解关键交集概率$P(AB)$。
3. 逆向条件概率：第二问需通过已知事件的补集关系，重新构造条件概率表达式。

破题关键点：

• 明确事件定义：区分事件“有效”与“失灵”，正确表示补集。
• 灵活运用公式：结合条件概率公式、加法公式、全概率公式，逐步推导未知概率。

第（1）题

目标：求至少一个系统有效，即$P(A \cup B)$。

步骤1：计算$P(\overline{A}B)$

根据条件概率公式：
$P(B|\overline{A}) = \frac{P(\overline{A}B)}{P(\overline{A})} \implies P(\overline{A}B) = P(\overline{A}) \cdot P(B|\overline{A}) = (1-0.92) \cdot 0.85 = 0.068$

步骤2：分解$P(B)$求$P(AB)$

全概率公式展开：
$P(B) = P(AB) + P(\overline{A}B) \implies P(AB) = P(B) - P(\overline{A}B) = 0.93 - 0.068 = 0.862$

步骤3：应用加法公式

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0.92 + 0.93 - 0.862 = 0.988$

第（2）题

目标：求$B$失灵时$A$有效，即$P(A|\overline{B})$。

步骤1：计算$P(A\overline{B})$

利用概率分解：
$P(A) = P(AB) + P(A\overline{B}) \implies P(A\overline{B}) = P(A) - P(AB) = 0.92 - 0.862 = 0.058$

步骤2：计算条件概率

$P(A|\overline{B}) = \frac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})} = \frac{0.058}{1 - 0.93} = \frac{0.058}{0.07} \approx 0.829$