题目

)(本题满分10分)-|||-设n为正整数,记Sn为曲线 =(e)^-xsin x(0leqslant xleqslant npi ) 与x轴所围图形的面积,求Sn,并-|||-求limSn·

题目解答

答案

解析

考查要点：本题主要考查定积分的计算及数列极限的求解。需要掌握分部积分法的应用，以及指数函数与三角函数乘积的积分技巧，同时理解极限的收敛性。

解题核心思路：

  1. 积分计算：通过两次分部积分，求出曲线$y = e^{-x} \sin x$在区间$[0, n\pi]$上的定积分，得到面积$S_n$的表达式。
  2. 极限分析：观察$S_n$的表达式，分析当$n \to \infty$时，指数项$e^{-n\pi}$的衰减特性，从而确定极限值。

破题关键点：

  • 分部积分法的正确应用，注意积分过程中符号的变化。
  • 周期性函数的特性：$\sin(n\pi) = 0$，$\cos(n\pi) = (-1)^n$。
  • 极限收敛性：指数函数$e^{-n\pi}$随$n$增大趋近于0，主导极限结果。

步骤1：计算定积分
设$S_n = \int_{0}^{n\pi} e^{-x} \sin x \, dx$，使用分部积分法：

  1. 第一次分部积分：
    令$u = \sin x$，$dv = e^{-x} dx$，则$du = \cos x dx$，$v = -e^{-x}$，得：
    $\int e^{-x} \sin x \, dx = -e^{-x} \sin x + \int e^{-x} \cos x \, dx$
  2. 第二次分部积分：
    对$\int e^{-x} \cos x \, dx$，令$u = \cos x$，$dv = e^{-x} dx$，则$du = -\sin x dx$，$v = -e^{-x}$，得：
    $\int e^{-x} \cos x \, dx = -e^{-x} \cos x - \int e^{-x} \sin x \, dx$
  3. 联立方程：
    将两次结果联立，解得：
    $\int e^{-x} \sin x \, dx = -\frac{e^{-x}}{2} (\sin x + \cos x) + C$

步骤2：代入上下限
计算定积分：
$S_n = \left[ -\frac{e^{-x}}{2} (\sin x + \cos x) \right]_{0}^{n\pi}$

  • 上限$x = n\pi$：$\sin(n\pi) = 0$，$\cos(n\pi) = (-1)^n$，代入得：
    $-\frac{e^{-n\pi}}{2} \cdot (-1)^n$
  • 下限$x = 0$：$\sin 0 = 0$，$\cos 0 = 1$，代入得：
    $-\frac{1}{2} \cdot 1 = -\frac{1}{2}$
  • 整体结果：
    $S_n = \left( -\frac{e^{-n\pi} (-1)^n}{2} \right) - \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{1 - (-1)^n e^{-n\pi}}{2}$

步骤3：求极限
当$n \to \infty$时，$e^{-n\pi} \to 0$，因此：
$\lim_{n \to \infty} S_n = \frac{1 - 0}{2} = \frac{1}{2}$