[题目]设A为n阶方阵,B1,B2,·B,A为A的n个列向-|||-量,若方程组 =0 只有零解,则向量组(β1,β2,-|||-βn)的秩为 __

考查要点：本题主要考查齐次线性方程组解的性质与矩阵秩的关系，以及向量组秩的概念。

解题核心思路：

1. 方程组AX=0只有零解，说明系数矩阵A的秩为n（即A是满秩矩阵）。
2. 矩阵A的秩等于其列向量组的秩，因此向量组β₁, β₂, ..., βₙ的秩即为A的秩。

破题关键点：

• 齐次方程组解唯一性与矩阵秩的关系：当且仅当A的秩为n时，AX=0仅有零解。
• 矩阵秩与列向量组秩的等价性：矩阵的秩等于其列向量组的秩。

步骤1：分析方程组解的条件
已知方程组AX=0只有零解，根据线性代数基本定理，齐次方程组仅有零解的充要条件是系数矩阵A的秩等于n，即：
$R(A) = n$

步骤2：关联矩阵秩与列向量组秩
矩阵A的列向量为β₁, β₂, ..., βₙ，因此矩阵A的秩等于其列向量组的秩。由于R(A)=n，可得：
$R(β₁, β₂, \cdots, βₙ) = R(A) = n$

结论：向量组β₁, β₂, ..., βₙ的秩为n。