(4) lim _(xarrow 0)((1+3{tan )^2x)}^(cot ^2x);

题目1：${(-1)}^{\frac{3}{2}}$

该表达式涉及负数的分数指数幂，需先明确分数指数幂的定义：$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^mm}$（$n$为偶数时，$a$非负才有意义）。对于$(-1)^{\frac{3}{2}}$，等价于$\sqrt{(-1)^3}=\sqrt{-1}$，在实数范围内无意义（或视为复数$i$，但通常中学阶段默认实数域），题目可能重点在题目2。

题目2：$\lim _{x\rightarrow 0}{(1+3{\tan^{2}x)}^{cos^{2}x}$

本题考察重要极限：$\lim_{u \to 0}(1+u)^{\frac{1}{u}}=e$的推广应用，步骤如下：

1. 凑重要极限形式：
   令$t=3\tan^2x$，当$x \to 0$时，$\tan x \to 0$，故$t \to 0$。
   原式$=(1+t)^{\cos^2x}$，需将指数转化为$\$\$\frac{1}{t}：
   $\cos^2x=\frac{1}{\sec^2x}=\frac{1}{1+\tan^2x}=\frac{1}{1+\frac{t}{3}}$（因$t=3\tan^2x\Rightarrow\tan^2x=\frac{t}{3}$）。

2. 指数变形：
   $\cos^2x=\frac{3}{3+t}$，故原式$=(1+t)^{\frac{3}{3+t}}=\left[(1+t)^{\frac{1}{t}}\right]^{\frac{t\cdot\frac{3}{3+t}}\}}$。

3. 取极限：
   $\lim_{x \to 0}(1+t)^{\frac{1}{t}}=e$，$\lim_{x \to 0}\left(t\cdot\frac{3}{3+t}\right)}$=$\lim_{t \to 0}\frac{3t}{3+t}=0$，
   由极限运算法则：原式$=e^3$。