题目
4.[多选题]-|||-(多选题)设 =ln (x-1), 下列陈-|||-述正确的是 ()-|||-A.当 arrow 2 时,y是无穷小;-|||-B.当 arrow 2+ 时,y是无穷小;-|||-C.当 arrow (2)^- 时,y是无穷小;-|||-D.当 arrow 1 时,y是无穷大;-|||-E.当 arrow 1+ 时,y是无穷大;-|||-F.当 arrow (1)^- 时,y是无穷大;-|||-G.当 arrow infty 时,y是无穷大;-|||-H.当 arrow +infty 时,y是无穷大;-|||-1.当 arrow -infty 时,y是无穷大。
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析函数 $y=\ln (x-1)$ 的定义域
函数 $y=\ln (x-1)$ 的定义域为 $x-1>0$，即 $x>1$。因此，$x$ 的取值范围是 $(1,+\infty)$。
步骤 2：分析当 $x\rightarrow 2$ 时，$y$ 的变化情况
当 $x\rightarrow 2$ 时，$x-1\rightarrow 1$，因此 $\ln (x-1)\rightarrow \ln 1=0$。所以，当 $x\rightarrow 2$ 时，$y$ 是无穷小。选项 A 正确。
步骤 3：分析当 $x\rightarrow {2}^{+}$ 时，$y$ 的变化情况
当 $x\rightarrow {2}^{+}$ 时，$x-1\rightarrow 1^{+}$，因此 $\ln (x-1)\rightarrow \ln 1^{+}=0^{+}$。所以，当 $x\rightarrow {2}^{+}$ 时，$y$ 是无穷小。选项 B 正确。
步骤 4：分析当 $x\rightarrow {2}^{-}$ 时，$y$ 的变化情况
当 $x\rightarrow {2}^{-}$ 时，$x-1\rightarrow 1^{-}$，因此 $\ln (x-1)\rightarrow \ln 1^{-}=-\infty$。所以，当 $x\rightarrow {2}^{-}$ 时，$y$ 不是无穷小。选项 C 错误。
步骤 5：分析当 $x\rightarrow 1$ 时，$y$ 的变化情况
当 $x\rightarrow 1$ 时，$x-1\rightarrow 0$，因此 $\ln (x-1)\rightarrow -\infty$。所以，当 $x\rightarrow 1$ 时，$y$ 是无穷大。选项 D 正确。
步骤 6：分析当 $x\rightarrow {1}^{+}$ 时，$y$ 的变化情况
当 $x\rightarrow {1}^{+}$ 时，$x-1\rightarrow 0^{+}$，因此 $\ln (x-1)\rightarrow -\infty$。所以，当 $x\rightarrow {1}^{+}$ 时，$y$ 是无穷大。选项 E 正确。
步骤 7：分析当 $x\rightarrow {1}^{-}$ 时，$y$ 的变化情况
当 $x\rightarrow {1}^{-}$ 时，$x-1\rightarrow 0^{-}$，此时 $x-1<0$，函数 $y=\ln (x-1)$ 无定义。所以，当 $x\rightarrow {1}^{-}$ 时，$y$ 不是无穷大。选项 F 错误。
步骤 8：分析当 $x\rightarrow \infty$ 时，$y$ 的变化情况
当 $x\rightarrow \infty$ 时，$x-1\rightarrow \infty$，因此 $\ln (x-1)\rightarrow \infty$。所以，当 $x\rightarrow \infty$ 时，$y$ 是无穷大。选项 G 正确。
步骤 9：分析当 $x\rightarrow +\infty$ 时，$y$ 的变化情况
当 $x\rightarrow +\infty$ 时，$x-1\rightarrow +\infty$，因此 $\ln (x-1)\rightarrow +\infty$。所以，当 $x\rightarrow +\infty$ 时，$y$ 是无穷大。选项 H 正确。
步骤 10：分析当 $x\rightarrow -\infty$ 时，$y$ 的变化情况
当 $x\rightarrow -\infty$ 时，$x-1\rightarrow -\infty$，此时 $x-1<0$，函数 $y=\ln (x-1)$ 无定义。所以，当 $x\rightarrow -\infty$ 时，$y$ 不是无穷大。选项 I 错误。
函数 $y=\ln (x-1)$ 的定义域为 $x-1>0$，即 $x>1$。因此，$x$ 的取值范围是 $(1,+\infty)$。
步骤 2：分析当 $x\rightarrow 2$ 时，$y$ 的变化情况
当 $x\rightarrow 2$ 时，$x-1\rightarrow 1$，因此 $\ln (x-1)\rightarrow \ln 1=0$。所以，当 $x\rightarrow 2$ 时，$y$ 是无穷小。选项 A 正确。
步骤 3：分析当 $x\rightarrow {2}^{+}$ 时，$y$ 的变化情况
当 $x\rightarrow {2}^{+}$ 时，$x-1\rightarrow 1^{+}$，因此 $\ln (x-1)\rightarrow \ln 1^{+}=0^{+}$。所以，当 $x\rightarrow {2}^{+}$ 时，$y$ 是无穷小。选项 B 正确。
步骤 4：分析当 $x\rightarrow {2}^{-}$ 时，$y$ 的变化情况
当 $x\rightarrow {2}^{-}$ 时，$x-1\rightarrow 1^{-}$，因此 $\ln (x-1)\rightarrow \ln 1^{-}=-\infty$。所以，当 $x\rightarrow {2}^{-}$ 时，$y$ 不是无穷小。选项 C 错误。
步骤 5：分析当 $x\rightarrow 1$ 时，$y$ 的变化情况
当 $x\rightarrow 1$ 时，$x-1\rightarrow 0$，因此 $\ln (x-1)\rightarrow -\infty$。所以，当 $x\rightarrow 1$ 时，$y$ 是无穷大。选项 D 正确。
步骤 6：分析当 $x\rightarrow {1}^{+}$ 时，$y$ 的变化情况
当 $x\rightarrow {1}^{+}$ 时，$x-1\rightarrow 0^{+}$，因此 $\ln (x-1)\rightarrow -\infty$。所以，当 $x\rightarrow {1}^{+}$ 时，$y$ 是无穷大。选项 E 正确。
步骤 7：分析当 $x\rightarrow {1}^{-}$ 时，$y$ 的变化情况
当 $x\rightarrow {1}^{-}$ 时，$x-1\rightarrow 0^{-}$，此时 $x-1<0$，函数 $y=\ln (x-1)$ 无定义。所以，当 $x\rightarrow {1}^{-}$ 时，$y$ 不是无穷大。选项 F 错误。
步骤 8：分析当 $x\rightarrow \infty$ 时，$y$ 的变化情况
当 $x\rightarrow \infty$ 时，$x-1\rightarrow \infty$，因此 $\ln (x-1)\rightarrow \infty$。所以，当 $x\rightarrow \infty$ 时，$y$ 是无穷大。选项 G 正确。
步骤 9：分析当 $x\rightarrow +\infty$ 时，$y$ 的变化情况
当 $x\rightarrow +\infty$ 时，$x-1\rightarrow +\infty$，因此 $\ln (x-1)\rightarrow +\infty$。所以，当 $x\rightarrow +\infty$ 时，$y$ 是无穷大。选项 H 正确。
步骤 10：分析当 $x\rightarrow -\infty$ 时，$y$ 的变化情况
当 $x\rightarrow -\infty$ 时，$x-1\rightarrow -\infty$，此时 $x-1<0$，函数 $y=\ln (x-1)$ 无定义。所以，当 $x\rightarrow -\infty$ 时，$y$ 不是无穷大。选项 I 错误。