对应于实矩阵的相异特征值的实特征向量必是正交的。A.正确B.错误

考查要点：本题主要考查学生对矩阵特征向量正交性条件的理解，特别是对实矩阵与实对称矩阵性质的区分。

解题核心思路：

1. 明确定理适用范围：实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交，但这一性质仅适用于实对称矩阵，而非所有实矩阵。
2. 反例验证：通过构造非对称实矩阵的实例，说明相异特征值的特征向量可能不正交。

破题关键点：

• 区分“实矩阵”与“实对称矩阵”的概念差异。
• 理解特征向量正交性的前提是矩阵满足特定条件（如对称性）。

错误原因分析：
题目中将“实对称矩阵”的性质错误推广到所有实矩阵。具体来说：

1. 定理限定条件：只有实对称矩阵（或其他正规矩阵）的不同特征值对应的特征向量才正交。
2. 一般实矩阵的性质：若矩阵不对称，则相异特征值的特征向量可能不正交。例如，取非对称实矩阵：
   $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}$
   其特征值为 $1$ 和 $2$，对应的特征向量分别为 $\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}$ 和 $\begin{bmatrix}1 \\ 1\end{bmatrix}$，它们的点积为 $1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 1 \neq 0$，说明不正交。

原证明的漏洞：
题目提供的证明过程隐含假设矩阵对称（如通过转置操作推导正交性），但未明确说明这一前提，导致结论错误。