10.求函数 =x(y)^2z 在点 _(0)(1,-1,2) 处变化最快的方向,并求沿这个方向的方向导数.

本题主要考察梯度的概念及其几何意义，具体内容如下：

关键知识点

函数在某点变化最快的方向是该点的梯度方向，梯度的模即为沿该方向的方向导数。

• 梯度定义：对于函数$u(x,y,z)$，其梯度$\nabla u=\left(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial u}{\partial z}\right)$。
• 几何意义：梯度方向是函数增长最快的方向，梯度的反方向是函数减少最快的方向；梯度的模$|\nabla u|$是沿梯度方向的方向导数，反方向的方向导数为$-|\nabla u|$。

解题步骤

1. 计算函数$u=xy^2z$的偏导数

• 对$x$求偏导：$\frac{\partial u}{\partial x}=y^2z$
• 对$y$求偏导：$\frac{\partial u}{\partial y}=2xyz$
• 对$z$求偏导：$\frac{\partial u}{\partial z}=xy^2$

2. 求点$P_0(1,-1,2)$处的梯度

将$x=1,y=-1,z=2$代入偏导数：

• $\frac{\partial u}{\partial x}=(-1)^2\times2=2$
• $\frac{\partial u}{\partial y}=2\times1\times(-1)\times2=-4$
• $\frac{\partial u}{\partial z}=1\times(-1)^2=1$

故梯度$\nabla u|_{P_0}=(2,-4,1)$。

3. 单位化梯度向量（增加最快方向）

梯度向量的模为：
$|\nabla u|=\sqrt{2^2+(-4)^2+1^2}=\sqrt{4+16+1}=\sqrt{21}$

单位化得增加最快方向：
$\eta=\frac{\nabla u}{|\nabla u|}=\frac{1}{\sqrt{21}}(2\boldsymbol{i}-4\boldsymbol{j}+\boldsymbol{k})$

4. 减少最快方向及方向导数

减少最快方向为梯度的反方向：
$-\eta=\frac{1}{\sqrt{21}}(-2\boldsymbol{i}+4\boldsymbol{j}-\boldsymbol{k})$

沿该方向的方向导数为$-|\nabla u|=-\sqrt{21}$。