题目

3.写出四阶行列式中含有因子 a11a23的项.

题目解答

答案

解含因子 a_{11}a_{23} 的项的一般形式为 (-1)^{t}a_{11}a_{23}a_{3 r}a_{4 s} ,其中rs是2和4构成的排列,这种排列共有两个,即24和42.所以含因子 a_{11}a_{23} 的项分别是 (-1)^{t}a_{11}a_{23}a_{32}a_{44}=(-1)^{1}a_{11}a(-1)^{t}a_{11}a_{23}a_{34}a_{42}=(-1)^{2}a_{11}a_{23}a_{34}a_{42

解析

考查要点：本题主要考查四阶行列式展开式中特定项的构造方法，涉及排列组合与逆序数的计算。

解题核心思路：

  1. 确定已知因子的位置：四阶行列式的展开项由四个元素组成，且每行每列各选一个元素。题目中已给出因子$a_{11}$和$a_{23}$，即第一行选第1列，第二行选第3列。
  2. 确定剩余元素的列位置：第三行和第四行的元素必须从剩余的列（第2列和第4列）中选择，且列号不能重复。
  3. 构造排列并计算符号：根据剩余列的排列组合，构造可能的列排列，并通过逆序数确定符号$(-1)^t$。

破题关键点：

  • 列排列的唯一性：第三行和第四行的列只能是第2列和第4列的排列。
  • 逆序数的计算：根据列排列的顺序计算逆序数，确定符号。

四阶行列式的展开项形式为$a_{1i}a_{2j}a_{3k}a_{4l}$，其中$i,j,k,l$是列的排列，符号为$(-1)^{\text{逆序数}}$。

步骤1：固定已知因子

  • $a_{11}$对应第一行第1列，$a_{23}$对应第二行第3列。
  • 剩余元素需从第三行（第2、4列）和第四行（第2、4列）中选择，且列不重复。

步骤2：构造剩余列排列

可能的列排列有两种：

  1. 第三行第2列，第四行第4列：列排列为$1,3,2,4$。

    • 逆序数：3后面有1个较小数（2），总逆序数$t=1$，符号为$(-1)^1=-1$。
    • 对应项：$-a_{11}a_{23}a_{32}a_{44}$。

  2. 第三行第4列，第四行第2列：列排列为$1,3,4,2$。

    • 逆序数：4后面有1个较小数（2），总逆序数$t=1$，符号为$(-1)^1=-1$？（此处需重新计算）

更正：排列$1,3,4,2$的逆序数计算：

  • 3后面无逆序；
  • 4后面有1个逆序（4 > 2）；
  • 2后面无逆序。
    总逆序数$t=1$，符号应为$(-1)^1=-1$？但原答案中符号为$+1$，可能存在错误。

正确计算：排列$1,3,4,2$的逆序数为：

  • 3与2构成1个逆序；
  • 4与2构成1个逆序；
    总逆序数$t=2$，符号为$(-1)^2=+1$。

对应项：$+a_{11}a_{23}a_{34}a_{42}$。