14.设随机变量X的密度函数为-|||-.p(x)= , 0,|x|gt dfrac {pi )(2). .-|||-试求:-|||-(1)系数A;-|||-(2)X落在区间 (0,pi /4) 内的概率.

考查要点：本题主要考查概率密度函数的性质及概率计算。
解题思路：

1. 确定系数A：利用概率密度函数在整个定义域上的积分等于1的性质，建立方程求解。
2. 计算概率：在已知密度函数的情况下，对指定区间积分即可得到概率。
   关键点：

• 积分对称性：利用偶函数性质简化积分计算。
• 概率范围：概率结果必须满足$0 \leq P \leq 1$，若结果超出此范围需检查计算。

第（1）题：求系数A

根据概率密度函数的性质

概率密度函数$p(x)$在定义域上的积分等于1：
$\int_{-\infty}^{+\infty} p(x) \, dx = 1$

代入密度函数表达式

当$|x| \leq \frac{\pi}{2}$时，$p(x) = A \cos x$；否则$p(x) = 0$。因此积分区间为$[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$：
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} A \cos x \, dx = 1$

利用偶函数性质简化积分

$\cos x$是偶函数，积分区间对称，可简化为：
$2A \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x \, dx = 1$

计算积分

$2A \left[ \sin x \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = 2A (\sin \frac{\pi}{2} - \sin 0) = 2A (1 - 0) = 2A$

解方程求A

$2A = 1 \implies A = \frac{1}{2}$

第（2）题：求$X$落在$(0, \frac{\pi}{4})$内的概率

概率计算公式

概率为密度函数在区间$(0, \frac{\pi}{4})$上的积分：
$P(0 < X < \frac{\pi}{4}) = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} p(x) \, dx$

代入已知密度函数

由第（1）题已求得$A = \frac{1}{2}$，因此：
$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{2} \cos x \, dx$

计算积分

$\frac{1}{2} \left[ \sin x \right]_0^{\frac{\pi}{4}} = \frac{1}{2} \left( \sin \frac{\pi}{4} - \sin 0 \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - 0 \right) = \frac{\sqrt{2}}{4}$

结果验证

$\frac{\sqrt{2}}{4} \approx 0.3535$，符合概率范围$0 \leq P \leq 1$。