17.一房地产公司有50套公寓要出租.当月租金定为4000元时,公寓会全部租出去.当-|||-月租金每增加200元时,就会多一套公寓租不出去,而租出去的公寓平均每月需花费400元-|||-的维修费.试问房租定为多少可获得最大收入?

考查要点：本题主要考查二次函数在实际问题中的应用，涉及利润最大化问题。需要学生建立正确的数学模型，并通过二次函数的顶点公式求解最大值。

解题核心思路：

1. 设定变量：将租金上涨次数设为变量，建立租出数量与租金的关系式。
2. 构建收入函数：总收入 = 租金收入 - 维修费用，需注意维修费用与租出数量相关。
3. 求二次函数最大值：通过顶点公式或配方法找到函数的最大值点。

破题关键点：

• 正确表达租出数量与租金的关系：每增加200元租金，租出数量减少1套。
• 准确计算总收入：租金收入需扣除维修费用，避免遗漏成本项。

设定变量与关系式

设租金增加了$x$个200元，则：

• 租金为 $4000 + 200x$ 元，
• 租出数量为 $50 - x$ 套（每增加200元，少租出1套）。

构建总收入函数

总收入 $R$ 包括租金收入和维修费用：
$\begin{aligned}R &= \text{租金收入} - \text{维修费用} \\&= (4000 + 200x)(50 - x) - 400(50 - x) \\&= (4000 \cdot 50 - 4000x + 200x \cdot 50 - 200x^2) - (20000 - 400x) \\&= 200000 + 6000x - 200x^2 - 20000 + 400x \\&= -200x^2 + 6400x + 180000.\end{aligned}$

求二次函数最大值

二次函数 $R = -200x^2 + 6400x + 180000$ 的顶点横坐标为：
$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{6400}{2 \cdot (-200)} = 16.$
此时租金为：
$4000 + 200 \times 16 = 7200 \text{元}.$