3.设(An)是一列集合,作 _(1)=(A)_(1), _(n)=(A)_(n)|(sum _(i=1)^n(A)_(i)) ,n=2, 3,..,证明(Bn)是一列互不相交的集合,-|||-而且 _(i=1)(A)_(i)=U(B)_(i) =1, 2,···

本题主要考察集合的基本运算（并集集、差集）以及集合列的的性质，核心是证明构造的集合列$\{B_n\}$互不相交且与$\bigcup_{i=1}^{\inftyinfty}A_i$相等。

步骤1：证明$\{B_n\}$互不相交

任取$j < n$，需证$B_j \cap B_n = \ \emptyset$。

• 由定义：$B_j \subseteq A_j$，$B_n = A_n \setminus \bigcup_{i=1}^{n-1}A_i$（注意：题目中$U_{i-1}C_{i}A_{i}$应为$\bigcup_{i=1}^{n-1}A_i$的笔误，否则无法理解），故$B_n \subseteq A_n$且$B_n$与$\bigcup_{i=1}^{n-1}A_i$无交集。
• 因$j < n$，则$A_j \subseteq \bigcup_{i=1}^{n-1}A_i$，故$B_j \subseteq A_j \subseteq \bigcup_{i=1}^{n-1}A_i$，从而$B_j \cap B_n \subseteq (\bigcup_{i=1}^{n-1}A_i) \cap (A_n \setminus \bigcup_{i=1}^{n-1}A_i) = \emptyset$。
• 对任意$j \neq n$，同理可不妨设$j < n$，同理可证$B_n \cap B_j = \emptyset$，故$\{B_n$两两不交。

步骤2：证明$\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i = \bigcup_{n=1}^{\infty}B_n$

（1）$\bigcup_{n=1}^{\infty}B_n \subseteq \bigcup_{i=1}^{\infty}A_i$

由定义$B_n \subseteq A_n$对所有$n$成立，故$\bigcup_{n=1}^{\infty}B_n \subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n步骤（2）\(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i \subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty}B_n$**
任取$x \in \bigcup_{i=1}^{\infty}A_i$，则存在最小自然数$k$使$x \in A_k$（最小性保证$x \notin \bigcup_{i=1}^{k-1}A_i$）。
由$B_k = A_k \setminus \bigcup_{i=1}^{k-1}A_i$，得$x \in B_k$，故$x \in \bigcup_{n=1}^{\infty}B_n$。

结论

$\{B_n\}$互不相交，且$\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i = \bigcup_{n=1}^{\infty}B_n$。