如果对微分方程 y'' - 2ay' + (a+2)y = 0 的任一解 y(x)，反常积分 int_(0)^+infty y(x) , dx 均收敛，那么 a 的取值范围是( )A. (-2, -1]B. (-infty, -1]C. (-2, 0)D. (-infty, 0)

我们来分析这个题目：

题目：

给定微分方程：
$y'' - 2a y' + (a+2)y = 0$
如果对于该方程的任意解 $ y(x) $，反常积分：
$\int_0^{+\infty} y(x)\,dx$
都收敛，那么参数 $ a $ 的取值范围是？

选项如下：

A. $(-2, -1]$
B. $(-\infty, -1]$
C. $(-2, 0)$
D. $(-\infty, 0)$

第一步：分析微分方程的通解形式

这是一个二阶常系数线性齐次微分方程：

$y'' - 2a y' + (a+2)y = 0$

其特征方程为：
$r^2 - 2a r + (a+2) = 0$

解这个二次方程：
$r = \frac{2a \pm \sqrt{(2a)^2 - 4(a+2)}}{2} = \frac{2a \pm \sqrt{4a^2 - 4(a+2)}}{2} = \frac{2a \pm \sqrt{4a^2 - 4a - 8}}{2} = \frac{2a \pm 2\sqrt{a^2 - a - 2}}{2} = a \pm \sqrt{a^2 - a - 2}$

所以，特征根为：
$r_1 = a + \sqrt{a^2 - a - 2},\quad r_2 = a - \sqrt{a^2 - a - 2}$

第二步：分析解的收敛性

微分方程的通解是：
$y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$

要使得反常积分：
$\int_0^{+\infty} y(x)\,dx = \int_0^{+\infty} \left(C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}\right) dx$
对任意常数 $ C_1, C_2 $ 都收敛，必须要求两个指数函数 $ e^{r_1 x} $、$ e^{r_2 x} $ 在 $ x \to +\infty $ 时都趋于 0。

也就是说，两个特征根的实部都必须小于 0。

第三步：分析特征根的实部

我们分析特征根：
$r_{1,2} = a \pm \sqrt{a^2 - a - 2}$

我们分情况讨论：

情况1：判别式 $ a^2 - a - 2 \geq 0 $

我们先解不等式：
$a^2 - a - 2 \geq 0 \Rightarrow (a - 2)(a + 1) \geq 0 \Rightarrow a \leq -1 \text{ 或 } a \geq 2$

在这些情况下，特征根是实数。

我们来分析当 $ a \leq -1 $ 时，两个特征根是否都小于 0。

设：
$r_1 = a + \sqrt{a^2 - a - 2},\quad r_2 = a - \sqrt{a^2 - a - 2}$

我们分析 $ r_1 $ 和 $ r_2 $ 的符号。

因为 $ a \leq -1 $，所以 $ a < 0 $，且 $ \sqrt{a^2 - a - 2} > 0 $。

• $ r_1 = a + \text{正数} $，可能为正或负；
• $ r_2 = a - \text{正数} $，一定为负。

我们希望两个特征根都小于 0，即：
$r_1 = a + \sqrt{a^2 - a - 2} < 0$

解这个不等式：
$a + \sqrt{a^2 - a - 2} < 0 \Rightarrow \sqrt{a^2 - a - 2} < -a$

两边平方（注意：因为 $ a < 0 $，右边是正数）：
$a^2 - a - 2 < a^2 \Rightarrow -a - 2 < 0 \Rightarrow a > -2$

所以：

• 当 $ a > -2 $ 时，这个不等式成立；
• 又因为 $ a \leq -1 $，所以综合得：
  $-2 < a \leq -1$

也就是说，当 $ a \in (-2, -1] $ 时，两个特征根都小于 0，指数函数在 $ x \to +\infty $ 时趋于 0，积分收敛。

情况2：判别式 $ a^2 - a - 2 < 0 $

即：
$-1 < a < 2$

此时特征根为复数，设为：
$r_{1,2} = a \pm i \sqrt{-(a^2 - a - 2)} = a \pm i \sqrt{-a^2 + a + 2}$

此时通解为：
$y(x) = e^{a x} \left(C_1 \cos(\sqrt{-a^2 + a + 2} x) + C_2 \sin(\sqrt{-a^2 + a + 2} x)\right)$

要使积分收敛，必须 $ e^{a x} \to 0 $，即 $ a < 0 $。

所以当 $ -1 < a < 0 $ 时，积分收敛。

第四步：综合两种情况

• 情况1：$ -2 < a \leq -1 $，积分收敛；
• 情况2：$ -1 < a < 0 $，积分也收敛；

所以总的收敛范围是：
$a \in (-2, 0)$

✅ 最终答案：

$\boxed{\text{C. } (-2, 0)}$