函数y=1-arctanx是(    )A. 单调增加且有界函数B. 单调减少且有界函数C. 奇函数D. 偶函数

考查要点：本题主要考查反三角函数arctanx的性质及其变换后的函数特性，包括单调性、有界性、奇偶性。

解题核心思路：

1. 分析原函数arctanx的性质：明确其单调性（单调递增）、有界性（值域为(-π/2, π/2)）。
2. 分析变换后的函数y=1−arctanx：
   • 单调性：取反操作（−arctanx）会将原函数的单调递增变为单调递减。
   • 有界性：原函数有界，线性变换（加1）不改变有界性。
3. 判断奇偶性：通过验证f(-x)与f(x)的关系排除奇函数和偶函数。

破题关键点：

• 导数符号判断单调性：arctanx的导数为正，取反后导数为负，故y=1−arctanx单调递减。
• 值域推导有界性：原函数值域为(-π/2, π/2)，变换后值域为(1−π/2, 1+π/2)，明确有界。

单调性分析

1. 原函数arctanx的导数：
   $\frac{d}{dx} \arctan x = \frac{1}{1+x^2} > 0 \quad (\text{对所有实数}x\text{成立})$
   因此，arctanx在定义域内单调递增。

2. 取反后的单调性：
   函数−arctanx的导数为：
   $\frac{d}{dx} (-\arctan x) = -\frac{1}{1+x^2} < 0$
   因此，−arctanx单调递减。

3. 加1后的单调性：
   线性变换（加1）不改变单调性，故y=1−arctanx单调递减。

有界性分析

1. 原函数arctanx的值域：
   $\arctan x \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$
   因此，−arctanx的值域为：
   $-\arctan x \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$

2. 加1后的值域：
   $y = 1 - \arctan x \in \left( 1 - \frac{\pi}{2}, 1 + \frac{\pi}{2} \right)$
   该区间有限，故y有界。

奇偶性分析

1. 计算f(-x)：
   $f(-x) = 1 - \arctan(-x) = 1 + \arctan x$

2. 与f(x)比较：

   • 奇函数要求：f(-x) = -f(x)
     $1 + \arctan x \neq -\left( 1 - \arctan x \right) \quad (\text{一般不成立})$
   • 偶函数要求：f(-x) = f(x)
     $1 + \arctan x \neq 1 - \arctan x \quad (\text{一般不成立})$

   因此，函数既不是奇函数，也不是偶函数。