题目
函数y=1-arctanx是( )A. 单调增加且有界函数B. 单调减少且有界函数C. 奇函数D. 偶函数
函数$$y=1-arctanx$$是( )
A. 单调增加且有界函数
B. 单调减少且有界函数
C. 奇函数
D. 偶函数
题目解答
答案
B. 单调减少且有界函数
解析
步骤 1：确定函数的单调性
函数$$y=1-arctanx$$的导数为$$y'=-\frac{1}{1+x^2}$$。由于$$1+x^2$$总是正的，所以$$y'$$总是负的，这意味着函数$$y=1-arctanx$$是单调减少的。
步骤 2：确定函数的有界性
函数$$arctanx$$的值域是$$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$$，所以$$-arctanx$$的值域是$$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$$。因此，$$y=1-arctanx$$的值域是$$(1-\frac{\pi}{2},1+\frac{\pi}{2})$$，说明函数是有界的。
步骤 3：确定函数的奇偶性
函数$$y=1-arctanx$$不是奇函数也不是偶函数，因为$$arctanx$$不是奇函数也不是偶函数，且加上常数1后，函数的奇偶性不会改变。
函数$$y=1-arctanx$$的导数为$$y'=-\frac{1}{1+x^2}$$。由于$$1+x^2$$总是正的，所以$$y'$$总是负的，这意味着函数$$y=1-arctanx$$是单调减少的。
步骤 2：确定函数的有界性
函数$$arctanx$$的值域是$$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$$，所以$$-arctanx$$的值域是$$(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$$。因此，$$y=1-arctanx$$的值域是$$(1-\frac{\pi}{2},1+\frac{\pi}{2})$$，说明函数是有界的。
步骤 3：确定函数的奇偶性
函数$$y=1-arctanx$$不是奇函数也不是偶函数，因为$$arctanx$$不是奇函数也不是偶函数，且加上常数1后，函数的奇偶性不会改变。