某企业有不到 100 名员工，本月只有 1/12 的员工未得到每人 1000 元的全勤奖，只有 13 名员工未得到每人 1000 元的绩效奖，两个奖都未得到的员工占员工总数的 1/14 。那么，企业本月共发放全勤奖和绩效奖多少万元？A. 7.1B. 12.6C. 14.8D. 16.8

关键点：本题考察集合的容斥原理应用，需结合分数特性确定员工总数，再计算奖金总额。

1. 员工总数确定：题目中涉及分数$\frac{1}{12}$和$\frac{1}{14}$，总数需是12和14的公倍数，且小于100，故总数为84。
2. 奖项发放人数：未得全勤奖人数为$\frac{1}{12} \times 84 =7$，未得绩效奖人数为13，两奖均未得人数为$\frac{1}{14} \times 84=6$。
3. 容斥原理应用：通过总人数减去两奖均未得人数，得到至少得一奖人数，再结合各奖项人数计算总奖金。

步骤1：确定员工总数

• 员工总数需满足是12和14的公倍数，且小于100。
  最小公倍数：$12=2^2 \times 3$，$14=2 \times 7$，故最小公倍数为$2^2 \times 3 \times 7=84$。
  因此，员工总数为84人。

步骤2：计算各奖项发放人数

1. 全勤奖：未得人数为$\frac{1}{12} \times 84 =7$，故得奖人数为$84-7=77$人。
2. 绩效奖：未得人数为13，故得奖人数为$84-13=71$人。
3. 两奖均未得：人数为$\frac{1}{14} \times 84=6$人。

步骤3：计算至少得一奖人数

• 至少得一奖人数为总人数减去两奖均未得人数：
  $84 - 6 = 78$人。

步骤4：应用容斥原理求总奖金

• 设同时得两奖人数为$x$，则：
  $77 + 71 - x = 78 \implies x = 70$
• 全勤奖总额：$77 \times 1000 = 77000$元（即7.7万元）。
• 绩效奖总额：$71 \times 1000 = 71000$元（即7.1万元）。
• 总奖金：$7.7 + 7.1 = 14.8$万元。