题目
15.矩阵A有一个不变因子 (lambda )^2+lambda , 则下列结论正确的是 ()-|||-(A)A相似于对角矩阵-|||-(B)A是奇异矩阵-|||-(C)A的初等因子都是λ的幂或 +1 的幂-|||-(D)A的特征值为0, -1 (有可能是重根)
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析不变因子
不变因子 ${\lambda }^{2}+\lambda $ 可以分解为 $\lambda (\lambda +1)$，这意味着矩阵A的极小多项式可以被 ${\lambda }^{2}+\lambda $ 整除。
步骤 2：判断矩阵A是否可逆
由于极小多项式的常数项为零，即极小多项式含有因子 $\lambda$，这意味着矩阵A的行列式为零，因此矩阵A是奇异矩阵。
步骤 3：分析初等因子
不变因子 ${\lambda }^{2}+\lambda $ 的分解为 $\lambda (\lambda +1)$，这表明矩阵A的初等因子可以是 $\lambda$ 的幂或 $\lambda +1$ 的幂。
步骤 4：分析特征值
由于不变因子 ${\lambda }^{2}+\lambda $ 的根为0和-1，这意味着矩阵A的特征值为0和-1，且这些特征值可能有重根。
不变因子 ${\lambda }^{2}+\lambda $ 可以分解为 $\lambda (\lambda +1)$，这意味着矩阵A的极小多项式可以被 ${\lambda }^{2}+\lambda $ 整除。
步骤 2：判断矩阵A是否可逆
由于极小多项式的常数项为零，即极小多项式含有因子 $\lambda$，这意味着矩阵A的行列式为零，因此矩阵A是奇异矩阵。
步骤 3：分析初等因子
不变因子 ${\lambda }^{2}+\lambda $ 的分解为 $\lambda (\lambda +1)$，这表明矩阵A的初等因子可以是 $\lambda$ 的幂或 $\lambda +1$ 的幂。
步骤 4：分析特征值
由于不变因子 ${\lambda }^{2}+\lambda $ 的根为0和-1，这意味着矩阵A的特征值为0和-1，且这些特征值可能有重根。