题目
级数1+(1)/(2)+(1)/(2^2)+...+(1)/(2^n)+...的和为（）A. 1B. 2C. 3
级数$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^n}+\cdots$的和为（）
A. 1
B. 2
C. 3
题目解答
答案
B. 2
解析
步骤 1：识别级数类型
级数 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{2^n} + \cdots$ 是一个无限项的等比数列，其中首项 $a = 1$，公比 $r = \frac{1}{2}$。
步骤 2：应用等比数列求和公式
对于无限项的等比数列，其和可以通过公式 $S = \frac{a}{1-r}$ 来计算，其中 $a$ 是首项，$r$ 是公比。在这个级数中，$a = 1$，$r = \frac{1}{2}$。将这些值代入公式，我们得到：\[ S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \]
步骤 3：验证结果
由于 $r = \frac{1}{2}$ 小于 1，所以这个级数是收敛的，其和为 2。因此，我们得出结论，这个级数的和为 2。
级数 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \cdots + \frac{1}{2^n} + \cdots$ 是一个无限项的等比数列，其中首项 $a = 1$，公比 $r = \frac{1}{2}$。
步骤 2：应用等比数列求和公式
对于无限项的等比数列，其和可以通过公式 $S = \frac{a}{1-r}$ 来计算，其中 $a$ 是首项，$r$ 是公比。在这个级数中，$a = 1$，$r = \frac{1}{2}$。将这些值代入公式，我们得到：\[ S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \]
步骤 3：验证结果
由于 $r = \frac{1}{2}$ 小于 1，所以这个级数是收敛的，其和为 2。因此，我们得出结论，这个级数的和为 2。