题目
8.判断题(1分)设随机变量X具有数学期望EX和方差DX，则对任意的ε>0，都有P(|X-EX|<ε)><1-(DX)/(ε^2)成立.（）< div > < /div >A 对B 错
8.判断题(1分)
设随机变量X具有数学期望EX和方差DX，则对任意的ε>0，都有
$P(|X-EX|<ε)><1-\frac{DX}{ε^{2}}$成立.（）
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A 对
B 错
题目解答
答案
根据切比雪夫不等式，对于任意随机变量 $X$ 和正数 $\varepsilon$，有：
$$
P(|X - E(X)| \geq \varepsilon) \leq \frac{D(X)}{\varepsilon^2}.
$$
转换为：
$$
P(|X - E(X)| < \varepsilon) = 1 - P(|X - E(X)| \geq \varepsilon) \geq 1 - \frac{D(X)}{\varepsilon^2}.
$$
题目中给出的不等式为：
$$
P(|X - E(X)| < \varepsilon) < 1 - \frac{D(X)}{\varepsilon^2},
$$
与切比雪夫不等式结果矛盾。因此，该陈述错误。
答案：$\boxed{B}$。
解析
考查要点：本题主要考查对切比雪夫不等式的理解与应用，需要明确不等式的形式及其推导结果。
解题核心思路：
- 切比雪夫不等式的原始形式为：
$P(|X - E(X)| \geq \varepsilon) \leq \frac{D(X)}{\varepsilon^2}.$ - 将不等式转换为概率的补集形式：
$P(|X - E(X)| < \varepsilon) = 1 - P(|X - E(X)| \geq \varepsilon) \geq 1 - \frac{D(X)}{\varepsilon^2}.$ - 题目中的不等式方向与上述推导结果矛盾，因此判断为错误。
破题关键点：
- 明确切比雪夫不等式的正确形式，注意概率的补集关系及不等式方向的变化。
根据切比雪夫不等式：
$P(|X - E(X)| \geq \varepsilon) \leq \frac{D(X)}{\varepsilon^2}.$
对不等式两边取补集：
$P(|X - E(X)| < \varepsilon) = 1 - P(|X - E(X)| \geq \varepsilon) \geq 1 - \frac{D(X)}{\varepsilon^2}.$
题目中给出的结论是：
$P(|X - E(X)| < \varepsilon) < 1 - \frac{D(X)}{\varepsilon^2},$
这与切比雪夫不等式的推导结果矛盾。因此，原命题错误。