题目
2. (5.0分) 4.计算二重积分I=iint_(D)sqrt(x^2)+y^(2)dxdy，其中D是圆周线x^2+y^2=2x所围成的闭区域。 请输入答案
2. (5.0分)
4.计算二重积分$I=\iint_{D}\sqrt{x^{2}+y^{2}}dxdy$，其中D是圆周线$x^{2}+y^{2}=2x$所围成的闭区域。
请输入答案
题目解答
答案
将圆周方程 $x^2 + y^2 = 2x$ 转换为极坐标形式：
\[ r = 2 \cos \theta, \quad -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} \]
被积函数变为 $r$，面积元素为 $r \, dr \, d\theta$，积分区域为 $0 \leq r \leq 2 \cos \theta$。
二重积分转换为：
\[ I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2 \cos \theta} r^2 \, dr \, d\theta \]
先对 $r$ 积分：
\[ \int_{0}^{2 \cos \theta} r^2 \, dr = \frac{8 \cos^3 \theta}{3} \]
再对 $\theta$ 积分，利用对称性：
\[ I = \frac{16}{3} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 \theta \, d\theta = \frac{16}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{32}{9} \]
**答案：**
\[
\boxed{\frac{32}{9}}
\]
解析
步骤 1：转换圆周方程为极坐标形式
圆周方程 $x^2 + y^2 = 2x$ 可以转换为极坐标形式。首先，将 $x$ 和 $y$ 用极坐标表示，即 $x = r \cos \theta$ 和 $y = r \sin \theta$。代入圆周方程，得到 $r^2 = 2r \cos \theta$，从而得到 $r = 2 \cos \theta$。积分区域 $D$ 在极坐标系中表示为 $0 \leq r \leq 2 \cos \theta$，$-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$。
步骤 2：转换二重积分为极坐标形式
被积函数 $\sqrt{x^2 + y^2}$ 在极坐标系中表示为 $r$，面积元素 $dxdy$ 在极坐标系中表示为 $r \, dr \, d\theta$。因此，二重积分 $I$ 可以表示为：\[ I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2 \cos \theta} r^2 \, dr \, d\theta \]
步骤 3：计算二重积分
先对 $r$ 积分：\[ \int_{0}^{2 \cos \theta} r^2 \, dr = \frac{8 \cos^3 \theta}{3} \] 再对 $\theta$ 积分，利用对称性：\[ I = \frac{16}{3} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 \theta \, d\theta = \frac{16}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{32}{9} \]
圆周方程 $x^2 + y^2 = 2x$ 可以转换为极坐标形式。首先，将 $x$ 和 $y$ 用极坐标表示，即 $x = r \cos \theta$ 和 $y = r \sin \theta$。代入圆周方程，得到 $r^2 = 2r \cos \theta$，从而得到 $r = 2 \cos \theta$。积分区域 $D$ 在极坐标系中表示为 $0 \leq r \leq 2 \cos \theta$，$-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$。
步骤 2：转换二重积分为极坐标形式
被积函数 $\sqrt{x^2 + y^2}$ 在极坐标系中表示为 $r$，面积元素 $dxdy$ 在极坐标系中表示为 $r \, dr \, d\theta$。因此，二重积分 $I$ 可以表示为：\[ I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2 \cos \theta} r^2 \, dr \, d\theta \]
步骤 3：计算二重积分
先对 $r$ 积分：\[ \int_{0}^{2 \cos \theta} r^2 \, dr = \frac{8 \cos^3 \theta}{3} \] 再对 $\theta$ 积分，利用对称性：\[ I = \frac{16}{3} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^3 \theta \, d\theta = \frac{16}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{32}{9} \]