题目
求内接于半径为 3 的球，且有最大体积的长方体．
求内接于半径为
的球，且有最大体积的长方体．
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3 |
题目解答
答案
设题目中的球以原点为心，则球面方程为：x2+y2+z2=3，
因此内接于此球的长方体体积可以看成是，第一卦限部分体积xyz的8倍
建立拉格朗日函数
F（x，y，z，λ）=8xyz+λ（x2+y2+z2-3）
令
解得唯一驻点（1，1，1），
而由实际意义，知内接的长方体必有最大体积
故所求为各边均为2的正方体体积最大．
因此内接于此球的长方体体积可以看成是，第一卦限部分体积xyz的8倍
建立拉格朗日函数
F（x，y，z，λ）=8xyz+λ（x2+y2+z2-3）
令
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解得唯一驻点（1，1，1），
而由实际意义，知内接的长方体必有最大体积
故所求为各边均为2的正方体体积最大．
解析
步骤 1：建立长方体体积与球面方程的关系
设题目中的球以原点为心，则球面方程为：\(x^{2}+y^{2}+z^{2}=3\)。因此，内接于此球的长方体体积可以看成是，第一卦限部分体积\(xyz\)的8倍。
步骤 2：建立拉格朗日函数
建立拉格朗日函数\(F（x，y，z，λ）=8xyz+λ（x^{2}+y^{2}+z^{2}-3）\)，其中\(λ\)是拉格朗日乘数，用于处理约束条件\(x^{2}+y^{2}+z^{2}-3=0\)。
步骤 3：求解拉格朗日函数的偏导数
令\(F_x＝8yz+2xλ＝0\)，\(F_y＝8xz+2yλ＝0\)，\(F_z＝8xy+2zλ＝0\)，以及约束条件\(x^{2}+y^{2}+z^{2}-3＝0\)。
步骤 4：求解驻点
解上述方程组，得到唯一驻点\((1，1，1)\)。
步骤 5：验证驻点为最大值点
由实际意义，知内接的长方体必有最大体积，因此驻点\((1，1，1)\)对应于体积最大值。
设题目中的球以原点为心，则球面方程为：\(x^{2}+y^{2}+z^{2}=3\)。因此，内接于此球的长方体体积可以看成是，第一卦限部分体积\(xyz\)的8倍。
步骤 2：建立拉格朗日函数
建立拉格朗日函数\(F（x，y，z，λ）=8xyz+λ（x^{2}+y^{2}+z^{2}-3）\)，其中\(λ\)是拉格朗日乘数，用于处理约束条件\(x^{2}+y^{2}+z^{2}-3=0\)。
步骤 3：求解拉格朗日函数的偏导数
令\(F_x＝8yz+2xλ＝0\)，\(F_y＝8xz+2yλ＝0\)，\(F_z＝8xy+2zλ＝0\)，以及约束条件\(x^{2}+y^{2}+z^{2}-3＝0\)。
步骤 4：求解驻点
解上述方程组，得到唯一驻点\((1，1，1)\)。
步骤 5：验证驻点为最大值点
由实际意义，知内接的长方体必有最大体积，因此驻点\((1，1，1)\)对应于体积最大值。