题目
设曲线的极坐标方程为 =(e)^atheta (agt 0), 则该曲线上相应于θ从0变到2π的-|||-一段弧与极轴所围成的图形的面积为 __
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定极坐标方程
给定的极坐标方程为 $r = e^{a\theta}$，其中 $a > 0$。这表示曲线的半径 $r$ 随着角度 $\theta$ 的增加呈指数增长。
步骤 2：计算面积
极坐标下，曲线与极轴所围成的图形的面积 $S$ 可以通过积分计算得到。对于极坐标方程 $r = f(\theta)$，面积 $S$ 的计算公式为：
\[ S = \frac{1}{2} \int_{\theta_1}^{\theta_2} r^2 d\theta \]
其中，$\theta_1$ 和 $\theta_2$ 是积分的上下限。在这个问题中，$\theta$ 从 0 变到 $2\pi$，因此：
\[ S = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} (e^{a\theta})^2 d\theta = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} e^{2a\theta} d\theta \]
步骤 3：执行积分
计算上述积分：
\[ S = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} e^{2a\theta} d\theta = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2a} e^{2a\theta} \right]_{0}^{2\pi} = \frac{1}{4a} \left[ e^{2a\theta} \right]_{0}^{2\pi} = \frac{1}{4a} (e^{4a\pi} - 1) \]
给定的极坐标方程为 $r = e^{a\theta}$，其中 $a > 0$。这表示曲线的半径 $r$ 随着角度 $\theta$ 的增加呈指数增长。
步骤 2：计算面积
极坐标下，曲线与极轴所围成的图形的面积 $S$ 可以通过积分计算得到。对于极坐标方程 $r = f(\theta)$，面积 $S$ 的计算公式为：
\[ S = \frac{1}{2} \int_{\theta_1}^{\theta_2} r^2 d\theta \]
其中，$\theta_1$ 和 $\theta_2$ 是积分的上下限。在这个问题中，$\theta$ 从 0 变到 $2\pi$，因此：
\[ S = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} (e^{a\theta})^2 d\theta = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} e^{2a\theta} d\theta \]
步骤 3：执行积分
计算上述积分：
\[ S = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} e^{2a\theta} d\theta = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2a} e^{2a\theta} \right]_{0}^{2\pi} = \frac{1}{4a} \left[ e^{2a\theta} \right]_{0}^{2\pi} = \frac{1}{4a} (e^{4a\pi} - 1) \]