下列各题中 ,函数 f(x)和g(x)是否相同?为什么?-|||-(1) (x)=lg (x)^2, (x)=2lg x;-|||-(2) (x)=x, (x)=sqrt ({x)^2};-|||-(3) (x)=sqrt [3]({x)^4-(x)^3}, (x)=xsqrt [3](x-1);-|||-(4) (x)=1, (x)=(sec )^2x-(tan )^2x.

判断两个函数是否相同，需同时满足两个条件：

1. 定义域相同；
2. 对应法则相同（即对定义域内的任意$x$，$f(x)=g(x)$）。

关键思路：

• 定义域分析：分别求出两个函数的定义域，若不同则直接排除；
• 对应法则分析：若定义域相同，需验证是否对所有$x$有$f(x)=g(x)$，注意化简时可能隐藏的条件限制。

第（1）题

$f(x)=\lg x^2$与$g(x)=2\lg x$

1. 定义域分析：
   • $f(x)$中$\lg x^2$要求$x^2>0$，即$x \neq 0$，定义域为$(-\infty,0) \cup (0,+\infty)$；
   • $g(x)$中$\lg x$要求$x>0$，定义域为$(0,+\infty)$；
   • 定义域不同，函数不同。

第（2）题

$f(x)=x$与$g(x)=\sqrt{x^2}$

1. 对应法则分析：
   • $g(x)=\sqrt{x^2}=|x|=\begin{cases}x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0\end{cases}$；
   • 当$x<0$时，$f(x)=x \neq g(x)=-x$；
   • 对应法则不同，函数不同。

第（3）题

$f(x)=\sqrt[3]{x^4-x^3}$与$g(x)=x\sqrt[3]{x-1}$

1. 化简表达式：
   • $f(x)=\sqrt[3]{x^3(x-1)}=x\sqrt[3]{x-1}=g(x)$；
2. 定义域分析：
   • 三次根号下表达式对任意实数有意义，定义域均为$\mathbb{R}$；
   • 定义域和对应法则均相同，函数相同。

第（4）题

$f(x)=1$与$g(x)=\sec^2 x - \tan^2 x$

1. 恒等变形：
   • 利用三角恒等式$\sec^2 x - \tan^2 x = 1$，故$g(x)=1$；
2. 定义域分析：
   • $f(x)$定义域为$\mathbb{R}$；
   • $g(x)$中$\sec x$要求$\cos x \neq 0$，即$x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$（$k$为整数）；
   • 定义域不同，函数不同。