一、计算下列极限。9.lim _(xarrow infty )(cos dfrac (x)(2)cos dfrac (x)(4)cos dfrac (x)(8)... cos dfrac (x)({2)^n})（提示：lim _(xarrow infty )(cos dfrac (x)(2)cos dfrac (x)(4)cos dfrac (x)(8)... cos dfrac (x)({2)^n})）

考查要点：本题主要考查利用三角恒等式化简无限乘积，并结合极限求解的方法。关键在于递推应用提示中的恒等式，将余弦乘积转化为正弦函数表达式，进而分析极限。

解题核心思路：

1. 利用提示中的恒等式，通过递推将余弦乘积转化为正弦函数的比值形式。
2. 分析极限形式，当$x \rightarrow \infty$时，结合无穷乘积的特性，化简表达式。
3. 应用等价无穷小替换，将极限转化为基本形式求解。

破题关键点：

• 递推应用恒等式：每次应用提示中的等式，逐步消去余弦项，最终得到关于$\sin x$的表达式。
• 无穷乘积的极限处理：当项数无限增加时，乘积中的分母项可近似为线性函数，从而简化极限计算。

步骤1：递推应用提示中的恒等式
根据提示：
$2\sin\frac{x}{2^n}\cos\frac{x}{2^n} = \sin\frac{x}{2^{n-1}}$
对乘积$\cos\frac{x}{2}\cos\frac{x}{4}\cdots\cos\frac{x}{2^n}$进行递推：
$\begin{aligned}\sin x &= 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} \\&= 2^2\sin\frac{x}{4}\cos\frac{x}{4}\cos\frac{x}{2} \\&= \cdots \\&= 2^n\sin\frac{x}{2^n}\cos\frac{x}{2}\cos\frac{x}{4}\cdots\cos\frac{x}{2^{n-1}}.\end{aligned}$
因此，乘积可表示为：
$\cos\frac{x}{2}\cos\frac{x}{4}\cdots\cos\frac{x}{2^n} = \frac{\sin x}{2^n \sin\frac{x}{2^n}}.$

步骤2：分析极限形式
当$x \rightarrow \infty$时，若$n$固定，则$\frac{x}{2^n} \rightarrow \infty$，此时$\sin\frac{x}{2^n}$振荡无极限。但若乘积为无限乘积（即$n \rightarrow \infty$），则$\frac{x}{2^n} \rightarrow 0$，可应用等价无穷小替换：
$\sin\frac{x}{2^n} \approx \frac{x}{2^n}.$
代入表达式得：
$\cos\frac{x}{2}\cos\frac{x}{4}\cdots\cos\frac{x}{2^n} \approx \frac{\sin x}{2^n \cdot \frac{x}{2^n}} = \frac{\sin x}{x}.$

步骤3：求极限
当$x \rightarrow \infty$时，$\frac{\sin x}{x}$的极限为$0$（因$|\sin x| \leq 1$，分母趋于无穷大）。