题目
求曲线 =2t, =(t)^2, =dfrac (2)(3)(t)^3 上对应于=2t, =(t)^2, =dfrac (2)(3)(t)^3 的点处的切线及法平面方程。
求曲线 
上对应于
的点处的切线及法平面方程。
题目解答
答案
因为时， 
，
所以，对应曲线上的点
。
曲线的切向量为
，
时，切向量
。
由和点 ，得到切线方程
，法平面
，整理得到切线方程
，法平面
。
综上，切线方程为，法平面为。
解析
步骤 1：确定曲线上的点
当t=3时，代入曲线方程x=2t, $y={t}^{2}$, $z=\dfrac {2}{3}{t}^{3}$，得到x=6, y=9, z=12。因此，t=3对应曲线上的点(6,9,12)。
步骤 2：计算切向量
曲线的切向量由参数t的导数确定。对x=2t, $y={t}^{2}$, $z=\dfrac {2}{3}{t}^{3}$分别求导，得到切向量(2,2t,2t^2)。当t=3时，切向量为(2,6,18)。
步骤 3：确定切线方程
由切向量(2,6,18)和点(6,9,12)，可以得到切线方程$\dfrac {x-6}{2}=\dfrac {y-9}{6}=\dfrac {z-12}{18}$。简化得到切线方程$x-6=\dfrac {y-9}{3}=\dfrac {z-12}{9}$。
步骤 4：确定法平面方程
由切向量(2,6,18)和点(6,9,12)，可以得到法平面方程2(x-6)+6(y-9)+18(z-12)=0。简化得到法平面方程x+3y+9z-141=0。
当t=3时，代入曲线方程x=2t, $y={t}^{2}$, $z=\dfrac {2}{3}{t}^{3}$，得到x=6, y=9, z=12。因此，t=3对应曲线上的点(6,9,12)。
步骤 2：计算切向量
曲线的切向量由参数t的导数确定。对x=2t, $y={t}^{2}$, $z=\dfrac {2}{3}{t}^{3}$分别求导，得到切向量(2,2t,2t^2)。当t=3时，切向量为(2,6,18)。
步骤 3：确定切线方程
由切向量(2,6,18)和点(6,9,12)，可以得到切线方程$\dfrac {x-6}{2}=\dfrac {y-9}{6}=\dfrac {z-12}{18}$。简化得到切线方程$x-6=\dfrac {y-9}{3}=\dfrac {z-12}{9}$。
步骤 4：确定法平面方程
由切向量(2,6,18)和点(6,9,12)，可以得到法平面方程2(x-6)+6(y-9)+18(z-12)=0。简化得到法平面方程x+3y+9z-141=0。