4.已知矩阵方程AX=A+X，求矩阵X，其中A=(}2&2&02&1&30&1&0)。

考查要点：本题主要考查矩阵方程的求解方法，涉及矩阵运算、增广矩阵的初等行变换等知识点。

解题核心思路：将原方程$AX = A + X$变形为$(A - I)X = A$，其中$I$为单位矩阵。通过构造增广矩阵$[(A - I) | A]$，利用初等行变换将其化为$[I | X]$的形式，从而直接得到解矩阵$X$。

破题关键点：

1. 方程变形：将原方程整理为$(A - I)X = A$，这是解题的起点。
2. 增广矩阵构造：将系数矩阵$A - I$与常数项矩阵$A$拼接，形成增广矩阵。
3. 行变换化简：通过行变换将增广矩阵的左侧部分化为单位矩阵，右侧部分即为所求的$X$。

1. 方程变形
   原方程$AX = A + X$可变形为：
   $(A - I)X = A$
   其中$I$为$3 \times 3$的单位矩阵，$A - I = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$。

2. 构造增广矩阵
   将方程写成增广矩阵形式：
   $\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 & 2 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 3 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 \end{array}\right]$

3. 初等行变换

   • 第一步：用第一行消去第二行的第一个元素：
     第二行变为：$[0, -4, 3 | -2, -3, 3]$
   • 第二步：交换第二行和第三行，使第二行第二列为1：
     $\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 2 & 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -4 & 3 & -2 & -3 & 3 \end{array}\right]$
   • 第三步：用第二行消去第三行的第二个元素：
     第三行变为：$[0, 0, -1 | -2, 1, 3]$
   • 第四步：将第三行第三列化为1：
     第三行变为：$[0, 0, 1 | 2, -1, -3]$
   • 第五步：用第三行消去第二行的第三个元素：
     第二行变为：$[0, 1, 0 | 2, 0, -3]$
   • 第六步：用第二行消去第一行的第二个元素：
     第一行变为：$[1, 0, 0 | -2, 2, 6]$

4. 最终结果
   增广矩阵化简为：
   $\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & -2 & 2 & 6 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & -1 & -3 \end{array}\right]$
   右侧部分即为所求矩阵$X$。