题目
已知 L 是圆周^2+(y)^2=2x位于 x 轴 上方的部分，则曲线积分^2+(y)^2=2x___
已知 L 是圆周
位于 x 轴 上方的部分，则曲线积分
___
题目解答
答案
∵
∴
，代入到曲线积分中
∴
∵被积函数等式1时，第一类曲线积分
的几何意义是曲线段的弧
∴为相应的弧长
本题曲线为半圆，根据圆的求半径公式，当方程为
，其中r为半径，C为周长
对应，
∵L 是圆周位于 x 轴 上方的部分，即半圆
∴
解析
步骤 1：化简圆周方程
给定的圆周方程为${x}^{2}+{y}^{2}=2x$，可以化简为${x}^{2}-2x+{y}^{2}=0$，进一步化简为${(x-1)}^{2}+{y}^{2}=1$。这表示圆心在(1,0)，半径为1的圆。
步骤 2：代入曲线积分
将${x}^{2}+{y}^{2}-2x+1$代入到曲线积分中，得到${\int }_{L}^{(}{({x}^{2}+{y}^{2}-2x+1)ds$。由于${x}^{2}+{y}^{2}-2x=0$，所以${x}^{2}+{y}^{2}-2x+1=1$，因此曲线积分变为${\int }_{L}^{1}ds$。
步骤 3：计算曲线积分
由于${\int }_{L}^{1}ds$表示的是曲线L的弧长，而L是圆周${x}^{2}+{y}^{2}=2x$位于x轴上方的部分，即半圆。因此，${\int }_{L}^{1}ds$等于半圆的弧长，即$\pi$。
给定的圆周方程为${x}^{2}+{y}^{2}=2x$，可以化简为${x}^{2}-2x+{y}^{2}=0$，进一步化简为${(x-1)}^{2}+{y}^{2}=1$。这表示圆心在(1,0)，半径为1的圆。
步骤 2：代入曲线积分
将${x}^{2}+{y}^{2}-2x+1$代入到曲线积分中，得到${\int }_{L}^{(}{({x}^{2}+{y}^{2}-2x+1)ds$。由于${x}^{2}+{y}^{2}-2x=0$，所以${x}^{2}+{y}^{2}-2x+1=1$，因此曲线积分变为${\int }_{L}^{1}ds$。
步骤 3：计算曲线积分
由于${\int }_{L}^{1}ds$表示的是曲线L的弧长，而L是圆周${x}^{2}+{y}^{2}=2x$位于x轴上方的部分，即半圆。因此，${\int }_{L}^{1}ds$等于半圆的弧长，即$\pi$。