3.18设二维随机向量(X,Y)的分布函数为-|||-.F(x,y)= ) 1-(e)^-x-(e)^-y+(e)^-(x+y) 0, . , geqslant 0 ,geqslant 0 ,-|||-其他,-|||-讨论X,Y的独立性.

步骤 1：求边缘分布函数
为了讨论随机变量X和Y的独立性，我们首先需要求出它们的边缘分布函数。边缘分布函数可以通过将联合分布函数F(x,y)对另一个变量积分得到。对于X的边缘分布函数Fx(x)，我们有：
$$
F_X(x) = \lim_{y \to +\infty} F(x,y)
$$
对于Y的边缘分布函数Fy(y)，我们有：
$$
F_Y(y) = \lim_{x \to +\infty} F(x,y)
$$
步骤 2：计算边缘分布函数
根据题目给出的联合分布函数F(x,y)，我们可以计算出边缘分布函数Fx(x)和Fy(y)。
$$
F_X(x) = \lim_{y \to +\infty} (1 - e^{-x} - e^{-y} + e^{-(x+y)}) = 1 - e^{-x}
$$
$$
F_Y(y) = \lim_{x \to +\infty} (1 - e^{-x} - e^{-y} + e^{-(x+y)}) = 1 - e^{-y}
$$
步骤 3：验证独立性
为了验证随机变量X和Y的独立性，我们需要检查联合分布函数F(x,y)是否等于边缘分布函数的乘积，即：
$$
F(x,y) = F_X(x)F_Y(y)
$$
将Fx(x)和Fy(y)代入上式，我们有：
$$
F(x,y) = (1 - e^{-x})(1 - e^{-y}) = 1 - e^{-x} - e^{-y} + e^{-(x+y)}
$$
这与题目给出的联合分布函数F(x,y)一致，因此X和Y是独立的。