题目
在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同．从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于（ ） A. (2)/(7) B. (3)/(8) C. (3)/(7) D. (9)/(28)
在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同．从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于（ ）
- A. $\frac{2}{7}$
- B. $\frac{3}{8}$
- C. $\frac{3}{7}$
- D. $\frac{9}{28}$
题目解答
答案
解：由题意知本题是一个古典概型，
∵在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同．
试验的总事件是从8个球中取3个球有C83种取法，
从中摸出3个球，至少摸到2个黑球包括摸到2个黑球，或摸到3个黑球有C32C51+C33种不同的取法，
∴至少摸到2个黑球的概率等于$P=\frac{C_3^2C_5^1+C_3^3}{C_8^3}$=$\frac{2}{7}$，
故选：A．
∵在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同．
试验的总事件是从8个球中取3个球有C83种取法，
从中摸出3个球，至少摸到2个黑球包括摸到2个黑球，或摸到3个黑球有C32C51+C33种不同的取法，
∴至少摸到2个黑球的概率等于$P=\frac{C_3^2C_5^1+C_3^3}{C_8^3}$=$\frac{2}{7}$，
故选：A．
解析
步骤 1：确定总事件数
从8个球中取出3个球的组合数为C_8^{3}，即$\frac{8!}{3!(8-3)!}=\frac{8\times7\times6}{3\times2\times1}=56$种取法。
步骤 2：确定至少摸到2个黑球的事件数
至少摸到2个黑球包括两种情况：摸到2个黑球和1个白球，或摸到3个黑球。
- 摸到2个黑球和1个白球的组合数为C_3^{2}C_5^{1}，即$\frac{3!}{2!(3-2)!}\times\frac{5!}{1!(5-1)!}=3\times5=15$种取法。
- 摸到3个黑球的组合数为C_3^{3}，即$\frac{3!}{3!(3-3)!}=1$种取法。
因此，至少摸到2个黑球的事件数为15+1=16种取法。
步骤 3：计算概率
至少摸到2个黑球的概率等于$\frac{16}{56}=\frac{2}{7}$。
从8个球中取出3个球的组合数为C_8^{3}，即$\frac{8!}{3!(8-3)!}=\frac{8\times7\times6}{3\times2\times1}=56$种取法。
步骤 2：确定至少摸到2个黑球的事件数
至少摸到2个黑球包括两种情况：摸到2个黑球和1个白球，或摸到3个黑球。
- 摸到2个黑球和1个白球的组合数为C_3^{2}C_5^{1}，即$\frac{3!}{2!(3-2)!}\times\frac{5!}{1!(5-1)!}=3\times5=15$种取法。
- 摸到3个黑球的组合数为C_3^{3}，即$\frac{3!}{3!(3-3)!}=1$种取法。
因此，至少摸到2个黑球的事件数为15+1=16种取法。
步骤 3：计算概率
至少摸到2个黑球的概率等于$\frac{16}{56}=\frac{2}{7}$。