题目
3.计算iintlimits_(S)zdS，其中S为圆锥面z=sqrt(x^2)+y^(2)在0≤z≤1的部分，结果为____。
3.计算$\iint\limits_{S}zdS$，其中S为圆锥面$z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$在0≤z≤1的部分，结果为____。
题目解答
答案
将曲面 $S$ 转换为极坐标，其中 $z = \sqrt{x^2 + y^2} = r$，且 $0 \leq r \leq 1$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$。曲面元素 $dS = \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} \, dA = \sqrt{2} \, dA$。
则积分变为：
\[
\iint\limits_{S} z \, dS = \sqrt{2} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} r \cdot r \, dr \, d\theta = \sqrt{2} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} r^2 \, dr \, d\theta
\]
计算得：
\[
\sqrt{2} \int_{0}^{2\pi} \left[ \frac{r^3}{3} \right]_{0}^{1} d\theta = \sqrt{2} \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{3} \, d\theta = \frac{2\sqrt{2}\pi}{3}
\]
**答案：** $\boxed{\frac{2\sqrt{2}\pi}{3}}$
解析
步骤 1：转换为极坐标
将曲面 $S$ 转换为极坐标，其中 $z = \sqrt{x^2 + y^2} = r$，且 $0 \leq r \leq 1$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$。曲面元素 $dS = \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} \, dA = \sqrt{2} \, dA$。
步骤 2：计算曲面元素
曲面元素 $dS = \sqrt{2} \, dA$，其中 $dA = r \, dr \, d\theta$。
步骤 3：计算积分
则积分变为： \[ \iint\limits_{S} z \, dS = \sqrt{2} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} r \cdot r \, dr \, d\theta = \sqrt{2} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} r^2 \, dr \, d\theta \] 计算得： \[ \sqrt{2} \int_{0}^{2\pi} \left[ \frac{r^3}{3} \right]_{0}^{1} d\theta = \sqrt{2} \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{3} \, d\theta = \frac{2\sqrt{2}\pi}{3} \]
将曲面 $S$ 转换为极坐标，其中 $z = \sqrt{x^2 + y^2} = r$，且 $0 \leq r \leq 1$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$。曲面元素 $dS = \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} \, dA = \sqrt{2} \, dA$。
步骤 2：计算曲面元素
曲面元素 $dS = \sqrt{2} \, dA$，其中 $dA = r \, dr \, d\theta$。
步骤 3：计算积分
则积分变为： \[ \iint\limits_{S} z \, dS = \sqrt{2} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} r \cdot r \, dr \, d\theta = \sqrt{2} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} r^2 \, dr \, d\theta \] 计算得： \[ \sqrt{2} \int_{0}^{2\pi} \left[ \frac{r^3}{3} \right]_{0}^{1} d\theta = \sqrt{2} \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{3} \, d\theta = \frac{2\sqrt{2}\pi}{3} \]