((1-sqrt {3)i)}^10的值为（ ）A.((1-sqrt {3)i)}^10B.((1-sqrt {3)i)}^10C.((1-sqrt {3)i)}^10D.((1-sqrt {3)i)}^10

本题考查复数的高次幂运算，核心思路是将复数转换为极坐标形式，利用棣莫弗定理简化计算。关键在于：

1. 确定复数的模和辐角；
2. 应用棣莫弗定理计算幂；
3. 化简角度至标准范围；
4. 将结果转换为代数形式。

步骤1：转换复数形式

将复数 $1-\sqrt{3}i$ 转换为与 $-1+\sqrt{3}i$ 的关系：
$1-\sqrt{3}i = -(-1+\sqrt{3}i)$

步骤2：展开幂运算

利用幂的性质展开：
$(1-\sqrt{3}i)^{10} = [-(-1+\sqrt{3}i)]^{10} = (-1)^{10} \cdot (-1+\sqrt{3}i)^{10}$
由于 $(-1)^{10} = 1$，得：
$(1-\sqrt{3}i)^{10} = (-1+\sqrt{3}i)^{10}$

步骤3：转换为极坐标形式

计算 $-1+\sqrt{3}i$ 的模和辐角：

• 模：$\sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = 2$
• 辐角：$\frac{2\pi}{3}$（第二象限）

因此：
$-1+\sqrt{3}i = 2\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right)$

步骤4：应用棣莫弗定理

计算 $10$ 次幂：
$(-1+\sqrt{3}i)^{10} = \left[2\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right)\right]^{10} = 2^{10} \left[\cos\left(10 \cdot \frac{2\pi}{3}\right) + i\sin\left(10 \cdot \frac{2\pi}{3}\right)\right]$

步骤5：化简角度

计算角度：
$10 \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{20\pi}{3} = 6\pi + \frac{2\pi}{3} \quad \Rightarrow \quad \text{等价于} \frac{2\pi}{3}$

步骤6：转换为代数形式

代入化简后的角度：
$2^{10} \left[\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right] = 1024 \left(-\frac{1}{2} + i\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -512 + 512\sqrt{3}i = 512(-1+\sqrt{3}i)$