题目
(3)iintlimits_(D)(x^2-y^2)dsigma，其中D:0≤y≤sinx,0≤x≤π;
(3)$\iint\limits_{D}(x^{2}-y^{2})d\sigma$，其中D:0≤y≤sinx,0≤x≤π;
题目解答
答案
将二重积分转换为迭代积分：
\[
\iint\limits_{D}(x^2 - y^2) \, d\sigma = \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{\sin x} (x^2 - y^2) \, dy \, dx.
\]
先对 $y$ 积分：
\[
\int_{0}^{\sin x} (x^2 - y^2) \, dy = x^2 \sin x - \frac{\sin^3 x}{3}.
\]
再对 $x$ 积分：
\[
\int_{0}^{\pi} \left( x^2 \sin x - \frac{\sin^3 x}{3} \right) \, dx.
\]
分部积分求 $x^2 \sin x$：
\[
\int_{0}^{\pi} x^2 \sin x \, dx = \pi^2 - 4.
\]
利用恒等式求 $\sin^3 x$：
\[
\int_{0}^{\pi} \sin^3 x \, dx = \frac{4}{3}.
\]
组合结果：
\[
\pi^2 - 4 - \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{3} = \pi^2 - \frac{40}{9}.
\]
**答案：** $\boxed{\pi^2 - \frac{40}{9}}$
解析
步骤 1：确定积分区域
给定的积分区域 $D$ 是由 $0 \leq y \leq \sin x$ 和 $0 \leq x \leq \pi$ 确定的。这意味着 $x$ 的范围是从 $0$ 到 $\pi$，而 $y$ 的范围是从 $0$ 到 $\sin x$。
步骤 2：将二重积分转换为迭代积分
根据给定的积分区域，我们可以将二重积分转换为迭代积分： \[ \iint\limits_{D}(x^2 - y^2) \, d\sigma = \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{\sin x} (x^2 - y^2) \, dy \, dx. \]
步骤 3：先对 $y$ 积分
先对 $y$ 积分，得到： \[ \int_{0}^{\sin x} (x^2 - y^2) \, dy = x^2 \sin x - \frac{\sin^3 x}{3}. \]
步骤 4：再对 $x$ 积分
再对 $x$ 积分，得到： \[ \int_{0}^{\pi} \left( x^2 \sin x - \frac{\sin^3 x}{3} \right) \, dx. \]
步骤 5：分部积分求 $x^2 \sin x$
分部积分求 $x^2 \sin x$，得到： \[ \int_{0}^{\pi} x^2 \sin x \, dx = \pi^2 - 4. \]
步骤 6：利用恒等式求 $\sin^3 x$
利用恒等式求 $\sin^3 x$，得到： \[ \int_{0}^{\pi} \sin^3 x \, dx = \frac{4}{3}. \]
步骤 7：组合结果
组合结果，得到： \[ \pi^2 - 4 - \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{3} = \pi^2 - \frac{40}{9}. \]
给定的积分区域 $D$ 是由 $0 \leq y \leq \sin x$ 和 $0 \leq x \leq \pi$ 确定的。这意味着 $x$ 的范围是从 $0$ 到 $\pi$，而 $y$ 的范围是从 $0$ 到 $\sin x$。
步骤 2：将二重积分转换为迭代积分
根据给定的积分区域，我们可以将二重积分转换为迭代积分： \[ \iint\limits_{D}(x^2 - y^2) \, d\sigma = \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{\sin x} (x^2 - y^2) \, dy \, dx. \]
步骤 3：先对 $y$ 积分
先对 $y$ 积分，得到： \[ \int_{0}^{\sin x} (x^2 - y^2) \, dy = x^2 \sin x - \frac{\sin^3 x}{3}. \]
步骤 4：再对 $x$ 积分
再对 $x$ 积分，得到： \[ \int_{0}^{\pi} \left( x^2 \sin x - \frac{\sin^3 x}{3} \right) \, dx. \]
步骤 5：分部积分求 $x^2 \sin x$
分部积分求 $x^2 \sin x$，得到： \[ \int_{0}^{\pi} x^2 \sin x \, dx = \pi^2 - 4. \]
步骤 6：利用恒等式求 $\sin^3 x$
利用恒等式求 $\sin^3 x$，得到： \[ \int_{0}^{\pi} \sin^3 x \, dx = \frac{4}{3}. \]
步骤 7：组合结果
组合结果，得到： \[ \pi^2 - 4 - \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{3} = \pi^2 - \frac{40}{9}. \]