[题目]线性代数λ取何值时,非齐次线性方程组-|||-(λ +x2+x.3=1 { x1+lambda x2+x =lambda { x1+x2+-|||-lambda x3=lambda 平方.(1)有唯一解(2)无解(3)有无穷多个解?-|||-并在有无穷多个解时求其通解

步骤 1：计算系数行列式
计算系数行列式 $|A|$，其中 $A$ 是方程组的系数矩阵。系数矩阵为：
$$
A = \begin{pmatrix}
\lambda & 1 & 1 \\
1 & \lambda & 1 \\
1 & 1 & \lambda
\end{pmatrix}
$$
行列式 $|A|$ 的计算如下：
$$
|A| = \lambda(\lambda^2 - 1) - 1(\lambda - 1) + 1(1 - \lambda) = \lambda^3 - \lambda - \lambda + 1 + 1 - \lambda = \lambda^3 - 3\lambda + 2
$$
步骤 2：因式分解行列式
将行列式 $|A|$ 因式分解，得到：
$$
|A| = (\lambda + 2)(\lambda - 1)^2
$$
步骤 3：分析方程组的解
根据行列式的值，分析方程组的解的情况：
- 当 $\lambda \neq 1$ 且 $\lambda \neq -2$ 时，$|A| \neq 0$，方程组有唯一解。
- 当 $\lambda = 1$ 时，$|A| = 0$，方程组有无穷多解。
- 当 $\lambda = -2$ 时，$|A| = 0$，方程组无解。
步骤 4：求无穷多解时的通解
当 $\lambda = 1$ 时，方程组变为：
$$
\begin{cases}
x_1 + x_2 + x_3 = 1 \\
x_1 + x_2 + x_3 = 1 \\
x_1 + x_2 + x_3 = 1
\end{cases}
$$
方程组的通解为：
$$
(x_1, x_2, x_3) = (1, 0, 0) + c_1(-1, 1, 0) + c_2(-1, 0, 1)
$$