真题8 （2018·理工）写出y=(2^x)/(2^x)+1的反函数：____.

考查要点：本题主要考查反函数的求法，涉及指数函数与对数函数的转换，以及函数值域的确定。

解题核心思路：

1. 将原函数表达式中的$x$和$y$互换，解出新的$y$表达式。
2. 确定反函数的定义域，即原函数的值域。

破题关键点：

• 分离变量：通过代数变形将方程中的$2^x$单独分离出来。
• 取对数：利用对数函数将指数方程转化为线性表达式。
• 值域分析：通过分析原函数的取值范围确定反函数的定义域。

步骤1：写出原函数并交换变量
原函数为 $y = \frac{2^x}{2^x + 1}$，交换$x$和$y$后得到方程：
$x = \frac{2^y}{2^y + 1}$

步骤2：解方程求$2^y$

1. 两边同乘分母：
   $x(2^y + 1) = 2^y$
2. 展开并整理含$2^y$的项：
   $x \cdot 2^y + x = 2^y \implies 2^y(1 - x) = x$
3. 解得：
   $2^y = \frac{x}{1 - x}$

步骤3：取对数求$y$
对等式两边取以$2$为底的对数：
$y = \log_2 \left( \frac{x}{1 - x} \right)$

步骤4：确定定义域
原函数$y = \frac{2^x}{2^x + 1}$的值域为$(0, 1)$，因此反函数的定义域为$0 < x < 1$。