当。时,下列函数与。是等价无穷小的是。

考查要点：本题主要考查等价无穷小的判断，需要掌握常见函数在$x \to 0$时的泰勒展开式或等价无穷小替换规则，并能灵活运用洛必达法则处理未定式。

解题核心思路：

1. 等价无穷小定义：若$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{\sin x} = 1$，则$f(x)$与$\sin x$是等价无穷小。
2. 逐项分析：对每个选项，通过泰勒展开或洛必达法则计算极限，判断是否满足条件。
3. 关键点：
   • 泰勒展开快速判断低阶项；
   • 洛必达法则处理$\frac{0}{0}$型未定式。

选项分析

A. $\ln(1-x)$

• 泰勒展开：$\ln(1-x) \sim -x - \frac{x^2}{2} - \cdots$
• 比较：$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1-x)}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{-x}{x} = -1 \neq 1$
• 结论：不是等价无穷小。

B. $\tan 3x$

• 泰勒展开：$\tan 3x \sim 3x + \frac{(3x)^3}{3} + \cdots$
• 比较：$\lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{3x}{x} = 3 \neq 1$
• 结论：不是等价无穷小。

C. $e^x - \cos x$

• 泰勒展开：
  $e^x \sim 1 + x + \frac{x^2}{2}$，$\cos x \sim 1 - \frac{x^2}{2}$
  $\Rightarrow e^x - \cos x \sim x + x^2$
• 极限计算：
  $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{x + x^2}{x} = 1$
• 洛必达验证：
  $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + \sin x}{\cos x} = \frac{1 + 0}{1} = 1$
• 结论：是等价无穷小。

D. $1 - \cos x$

• 泰勒展开：$1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$
• 比较：$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2}}{x} = 0 \neq 1$
• 结论：不是等价无穷小。