题目

设二维随机变量((X)^6X)的分布律为((X)^6X)求 ( 1 ) ( X , Y ) 别关于 X Y 的边缘分布律 ; ( 2 ) D ( X ) ; ( 3 )((X)^6X)

设二维随机变量 $(X,Y)$ 的分布律为

求 ( 1 ) ( X , Y ) 别关于 X Y 的边缘分布律 ;

( 2 ) D ( X ) ;

( 3 ) $\rho_{XY}$

题目解答

答案

解：

（1）X的边缘分布律 : $P\left(X=1\right)=P\left(X=1,Y=1\right)+P\left(X=1,Y=2\right)$

$=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

$P\left(X=2\right)=P\left(X=2,Y=1\right)+P\left(X=2,Y=2\right)$

$=\frac{1}{4}+0=\frac{1}{4}$

Y的边缘分布律:

$P\left(Y=1\right)=P\left(X=1,Y=1\right)+P\left(X=2,Y=1\right)$

$=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

$P\left(Y=2\right)=P\left(X=1,Y=2\right)+P\left(X=2,Y=2\right)$

$=\frac{1}{4}+0=\frac{1}{4}$

（2） $D\left(X\right)=E\left(X^2\right)-E^2\left(X\right)$

$E\left(X^2\right)=1^2\times\frac{3}{4}+2^2\times\frac{1}{4}=\frac{7}{4}$

$E\left(X\right)=1\times\frac{3}{4}+2\times\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$

∴ $D\left(X\right)=\frac{7}{4}-\left(\frac{5}{4}\right)^2=\frac{3}{16}$

（3） $\rho_{X,Y}=\frac{E(XY)-E(X)E(Y)}{\sqrt{E\left(X^2\right)-E^2(X)}\sqrt{E\left(Y^2\right)-E^2(Y)}}$

$E\left(XY\right)=1\times\frac{1}{2}+2\times\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)+2\times0=\frac{3}{2}$

$E\left(Y\right)=1\times\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)+2\times\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$

$E\left(Y^2\right)=1^2\times\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\right)+2^2\times\frac{1}{4}=\frac{7}{4}$

∴ $\rho_{XY}=\frac{\frac{3}{2}-\frac{5}{4}\cdot\frac{5}{4}}{\sqrt{\frac{7}{4}-\left(\frac{5}{4}\right)^2}\cdot\sqrt{\frac{7}{4}-\left(\frac{5}{4}\right)^2}}=-\frac{1}{3}$

∴ $\rho_{XY}=-\frac{1}{3}$

解析

考查要点：

边缘分布律的计算：通过联合分布律求解单一变量的分布。
方差的计算：利用期望公式展开。
相关系数的计算：掌握协方差与标准差的关系。

解题核心思路：

边缘分布律：对联合分布律中另一变量的所有可能取值求和。
方差：先求期望$E(X)$和$E(X^2)$，再代入公式$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$。
相关系数：通过协方差与标准差的比值计算，注意公式中分子为$E(XY)-E(X)E(Y)$，分母为标准差乘积。

（1）求边缘分布律

X的边缘分布律：

$P(X=1) = P(X=1,Y=1) + P(X=1,Y=2) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$
$P(X=2) = P(X=2,Y=1) + P(X=2,Y=2) = \dfrac{1}{4} + 0 = \dfrac{1}{4}$

Y的边缘分布律：

$P(Y=1) = P(X=1,Y=1) + P(X=2,Y=1) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}$
$P(Y=2) = P(X=1,Y=2) + P(X=2,Y=2) = \dfrac{1}{4} + 0 = \dfrac{1}{4}$

（2）求$D(X)$

计算$E(X)$：
$E(X) = 1 \cdot \dfrac{3}{4} + 2 \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{4}$
计算$E(X^2)$：
$E(X^2) = 1^2 \cdot \dfrac{3}{4} + 2^2 \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{7}{4}$
代入方差公式：
$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \dfrac{7}{4} - \left(\dfrac{5}{4}\right)^2 = \dfrac{3}{16}$

（3）求相关系数$\rho_{XY}$

计算$E(XY)$：
$E(XY) = 1 \cdot 1 \cdot \dfrac{1}{2} + 1 \cdot 2 \cdot \dfrac{1}{4} + 2 \cdot 1 \cdot \dfrac{1}{4} + 2 \cdot 2 \cdot 0 = \dfrac{3}{2}$
计算$E(Y)$和$E(Y^2)$：
$E(Y) = 1 \cdot \dfrac{3}{4} + 2 \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{4}$
$E(Y^2) = 1^2 \cdot \dfrac{3}{4} + 2^2 \cdot \dfrac{1}{4} = \dfrac{7}{4}$
计算协方差与标准差：
$\text{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = \dfrac{3}{2} - \dfrac{5}{4} \cdot \dfrac{5}{4} = -\dfrac{1}{16}$
$\sigma_X = \sqrt{D(X)} = \sqrt{\dfrac{3}{16}} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}, \quad \sigma_Y = \dfrac{\sqrt{3}}{4}$
计算相关系数：
$\rho_{XY} = \dfrac{\text{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y} = \dfrac{-\dfrac{1}{16}}{\dfrac{3}{16}} = -\dfrac{1}{3}$