题目
已知行列式 mid matrix ( 1 2 -1 1 0 2 t 1 3 -1 2 2 -1 3 2 1 ) mid , A _ ij 为元素 a _ ij 的代数余子式若 A _ 31 - A _ 32 + 2 A _ 33 - A _ 34 = 0 则 t = ( ) a -1 b - 1 div 2 c 0 d 1 div 2 E . 1
已知行列式 \mid \matrix { 1 2 -1 1 0 2 t 1 3 -1 2 2 -1 3 2 1 } \mid , A _ ij 为元素 a _ ij 的代数余子式若 A _ 31 - A _ 32 + 2 A _ 33 - A _ 34 = 0 则 t = ( ) a -1 b - 1 \div 2 c 0 d 1 \div 2 E . 1
题目解答
答案
∵ A_{31}-A_{32}+2A_{33}-A_{34}=0 ∴将系数1、-1、2、-1替换第三行元素后，新行列式的值等于0；故可得： | \matrix {1&2&-1&1 \cr 0&2&t&1 \cr 1&-1&2&-1 \cr -1&3&2&1}|=0 ； 表示出行列式的值： 将第一行的-1倍加到第三行，1倍加到第四行可得： | \matrix {1&2&-1&1 \cr 0&2&t&1 \cr 0&-3&3&-2 \cr 0&5&1&2}|=0 ； 将第二行的2倍加到第三行，-2倍加到第四行可得： | \matrix {1&2&-1&1 \cr 0&2&t&1 \cr 0&1&3+2t&0 \cr 0&1&1-2t&0}|=0 ； 将第三行的-1倍加到第四行可得： | \matrix {1&2&-1&1 \cr 0&2&t&1 \cr 0&1&3+2t&0 \cr 0&0&-2-4t&0}|=0 ； 用第一列的代数余子式表示行列式： | \matrix {2&t&1 \cr 1&3+2t&0 \cr 0&-2-4t&0}|=0 ； 用第三列的代数余子式表示行列式可得： - \mid \matrix {1&3+2t \cr 0&-2-4t} \mid =0 ； 故可得： 2+4t=0 ； 解得： t=- \dfrac {1}{2} ； 故本题的答案是：B。
解析
步骤 1：理解代数余子式
代数余子式 A_{ij} 是指行列式中去掉第 i 行和第 j 列后剩余的行列式的值，乘以 (-1)^{i+j}。题目中给出的条件是 A_{31} - A_{32} + 2A_{33} - A_{34} = 0，这表示第三行的代数余子式按照特定的系数相加等于 0。
步骤 2：构造新行列式
根据题目条件，将第三行的元素替换为 1、-1、2、-1，得到新的行列式：
| \matrix {1&2&-1&1 \cr 0&2&t&1 \cr 1&-1&2&-1 \cr -1&3&2&1}|=0 。
步骤 3：计算行列式的值
通过行列式的性质，进行行变换，将行列式化简为上三角或下三角形式，从而计算行列式的值。具体步骤如下：
- 将第一行的-1倍加到第三行，1倍加到第四行，得到：
| \matrix {1&2&-1&1 \cr 0&2&t&1 \cr 0&-3&3&-2 \cr 0&5&1&2}|=0 。
- 将第二行的2倍加到第三行，-2倍加到第四行，得到：
| \matrix {1&2&-1&1 \cr 0&2&t&1 \cr 0&1&3+2t&0 \cr 0&1&1-2t&0}|=0 。
- 将第三行的-1倍加到第四行，得到：
| \matrix {1&2&-1&1 \cr 0&2&t&1 \cr 0&1&3+2t&0 \cr 0&0&-2-4t&0}|=0 。
- 用第一列的代数余子式表示行列式，得到：
| \matrix {2&t&1 \cr 1&3+2t&0 \cr 0&-2-4t&0}|=0 。
- 用第三列的代数余子式表示行列式，得到：
- \mid \matrix {1&3+2t \cr 0&-2-4t} \mid =0 。
- 解得： 2+4t=0 。
- 解得： t=- \dfrac {1}{2} 。
代数余子式 A_{ij} 是指行列式中去掉第 i 行和第 j 列后剩余的行列式的值，乘以 (-1)^{i+j}。题目中给出的条件是 A_{31} - A_{32} + 2A_{33} - A_{34} = 0，这表示第三行的代数余子式按照特定的系数相加等于 0。
步骤 2：构造新行列式
根据题目条件，将第三行的元素替换为 1、-1、2、-1，得到新的行列式：
| \matrix {1&2&-1&1 \cr 0&2&t&1 \cr 1&-1&2&-1 \cr -1&3&2&1}|=0 。
步骤 3：计算行列式的值
通过行列式的性质，进行行变换，将行列式化简为上三角或下三角形式，从而计算行列式的值。具体步骤如下：
- 将第一行的-1倍加到第三行，1倍加到第四行，得到：
| \matrix {1&2&-1&1 \cr 0&2&t&1 \cr 0&-3&3&-2 \cr 0&5&1&2}|=0 。
- 将第二行的2倍加到第三行，-2倍加到第四行，得到：
| \matrix {1&2&-1&1 \cr 0&2&t&1 \cr 0&1&3+2t&0 \cr 0&1&1-2t&0}|=0 。
- 将第三行的-1倍加到第四行，得到：
| \matrix {1&2&-1&1 \cr 0&2&t&1 \cr 0&1&3+2t&0 \cr 0&0&-2-4t&0}|=0 。
- 用第一列的代数余子式表示行列式，得到：
| \matrix {2&t&1 \cr 1&3+2t&0 \cr 0&-2-4t&0}|=0 。
- 用第三列的代数余子式表示行列式，得到：
- \mid \matrix {1&3+2t \cr 0&-2-4t} \mid =0 。
- 解得： 2+4t=0 。
- 解得： t=- \dfrac {1}{2} 。