已知行列式 mid matrix ( 1 2 -1 1 0 2 t 1 3 -1 2 2 -1 3 2 1 ) mid , A _ ij 为元素 a _ ij 的代数余子式若 A _ 31 - A _ 32 + 2 A _ 33 - A _ 34 = 0 则 t = ( ) a -1 b - 1 div 2 c 0 d 1 div 2 E . 1

考查要点：本题主要考查代数余子式的线性组合与行列式展开的关系，以及通过构造新行列式求解参数的能力。

解题核心思路：
根据代数余子式的性质，某一行的代数余子式线性组合等于将该行替换为对应系数后的新行列式值。题目中给出的组合式可转化为构造一个新行列式，通过化简该行列式并令其等于零，解出参数$t$。

破题关键点：

1. 构造新行列式：将原行列式的第三行替换为系数$(1, -1, 2, -1)$。
2. 行变换化简行列式：通过行初等变换将行列式化为上三角形式，简化计算。
3. 解方程求$t$：利用行列式展开或直接观察非零行，建立方程求解。

构造新行列式

根据代数余子式的性质，若$A_{31} - A_{32} + 2A_{33} - A_{34} = 0$，则将原行列式的第三行替换为系数$(1, -1, 2, -1)$后，新行列式值为$0$。新行列式为：
$\begin{vmatrix}1 & 2 & -1 & 1 \\0 & 2 & t & 1 \\1 & -1 & 2 & -1 \\-1 & 3 & 2 & 1\end{vmatrix} = 0$

行变换化简

1. 消去第三行首项：

   • 第三行 $+1 \times$ 第一行：
     $R3 \leftarrow R3 + R1 \Rightarrow R3 = (2, 1, 1, 0)$
   • 第四行 $+1 \times$ 第一行：
     $R4 \leftarrow R4 + R1 \Rightarrow R4 = (0, 5, 1, 2)$
     行列式变为：
     $\begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & t & 1 \\ 0 & -3 & 3 & -2 \\ 0 & 5 & 1 & 2 \end{vmatrix}$

2. 消去第四行首项：

   • 第四行 $-2 \times$ 第二行：
     $R4 \leftarrow R4 - 2R2 \Rightarrow R4 = (0, 1, 1-2t, 0)$
     行列式变为：
     $\begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & t & 1 \\ 0 & -3 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & 1-2t & 0 \end{vmatrix}$

3. 消去第四行第二列：

   • 第四行 $+1 \times$ 第三行：
     $R4 \leftarrow R4 + R3 \Rightarrow R4 = (0, 0, -2-4t, -2)$
     行列式变为：
     $\begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & t & 1 \\ 0 & -3 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & -2-4t & 0 \end{vmatrix}$

解方程求$t$

1. 展开行列式：
   由于第一列全为$0$（除首元素外），按第一列展开，仅需计算余子式：
   $\begin{vmatrix} 2 & t & 1 \\ -3 & 3 & -2 \\ 0 & -2-4t & 0 \end{vmatrix} = 0$

2. 进一步化简：
   按第三列展开，余子式为：
   $-\begin{vmatrix} 1 & 3+2t \\ 0 & -2-4t \end{vmatrix} = 0$

3. 计算二阶行列式：
   $-(1 \cdot (-2-4t) - 0 \cdot (3+2t)) = 2 + 4t = 0 \quad \Rightarrow \quad t = -\dfrac{1}{2}$