设二维随机变量(X,Y)的密度函数: f(x,y)= ) Ay,0lt xlt (y)^2,0lt ylt 1 0

步骤 1：求常数A
根据概率密度函数的性质，整个区域上的积分应等于1，即
$$
\int_{0}^{1} \int_{0}^{y^2} Ay \, dx \, dy = 1
$$
计算内层积分：
$$
\int_{0}^{y^2} Ay \, dx = Ay \cdot y^2 = Ay^3
$$
计算外层积分：
$$
\int_{0}^{1} Ay^3 \, dy = A \int_{0}^{1} y^3 \, dy = A \cdot \frac{1}{4} y^4 \Big|_{0}^{1} = \frac{A}{4}
$$
因此，有
$$
\frac{A}{4} = 1 \Rightarrow A = 4
$$

步骤 2：求边缘概率密度fx(x)
边缘概率密度函数fx(x)为
$$
f_X(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dy
$$
由于f(x,y)在0$$
f_X(x) = \int_{\sqrt{x}}^{1} 4y \, dy = 2y^2 \Big|_{\sqrt{x}}^{1} = 2 - 2x
$$
其中，0
步骤 3：求边缘概率密度f1(y)
边缘概率密度函数f1(y)为
$$
f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x,y) \, dx
$$
由于f(x,y)在0$$
f_Y(y) = \int_{0}^{y^2} 4y \, dx = 4y \cdot y^2 = 4y^3
$$
其中，0
步骤 4：判断X和Y是否独立
如果X和Y独立，则有
$$
f(x,y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)
$$
代入边缘概率密度函数，有
$$
4y = (2 - 2x) \cdot 4y^3
$$
显然，上式不成立，因此X和Y不独立。

步骤 5：计算$P\{ X\leqslant X\}$
由于$P\{ X\leqslant X\}$表示X取值小于等于X的概率，显然其值为1。