题目
在离心率为(sqrt(3))/(2)的椭圆中，F1，F2是两个焦点，P是椭圆上一点，且∠(F)_(1)P(F)_(2)=(π)/(3)，|P(F)_(1)|-|P(F)_(2)|=3，求(S)_(△P{F)_(1)(F)_(2)}．
在离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$的椭圆中，F1，F2是两个焦点，P是椭圆上一点，且$∠{F}_{1}P{F}_{2}=\frac{π}{3}，|P{F}_{1}|-|P{F}_{2}|=3$，求${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$．
题目解答
答案
解：由题意得$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$c=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，
由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c=$\sqrt{3}$a，
又|PF1|-|PF2|=3，所以$|P{F}_{1}|=a+\frac{3}{2}，|P{F}_{2}|=a-\frac{3}{2}$，
在△PF1F2中，由余弦定理得$cos∠{F}_{1}P{F}_{2}=\frac{1}{2}=\frac{{（a+\frac{3}{2}）}^{2}+{（a-\frac{3}{2}）}^{2}-3{a}^{2}}{2（a+\frac{3}{2}）（a-\frac{3}{2}）}$，解得${a}^{2}=\frac{27}{8}$，
所以${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}（a+\frac{3}{2}）（a-\frac{3}{2}）sin\frac{π}{3}=\frac{\sqrt{3}}{4}（{a}^{2}-\frac{9}{4}）=\frac{9\sqrt{3}}{32}$．
由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c=$\sqrt{3}$a，
又|PF1|-|PF2|=3，所以$|P{F}_{1}|=a+\frac{3}{2}，|P{F}_{2}|=a-\frac{3}{2}$，
在△PF1F2中，由余弦定理得$cos∠{F}_{1}P{F}_{2}=\frac{1}{2}=\frac{{（a+\frac{3}{2}）}^{2}+{（a-\frac{3}{2}）}^{2}-3{a}^{2}}{2（a+\frac{3}{2}）（a-\frac{3}{2}）}$，解得${a}^{2}=\frac{27}{8}$，
所以${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}（a+\frac{3}{2}）（a-\frac{3}{2}）sin\frac{π}{3}=\frac{\sqrt{3}}{4}（{a}^{2}-\frac{9}{4}）=\frac{9\sqrt{3}}{32}$．
解析
步骤 1：确定椭圆的离心率和焦距
由题意得$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$c=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，其中$c$是焦距的一半，$a$是椭圆的半长轴。
步骤 2：利用椭圆的定义和已知条件求解
由椭圆定义知|PF_1|+|PF_2|=2a，|F_1F_2|=2c=$\sqrt{3}$a，又|PF_1|-|PF_2|=3，所以$|P{F}_{1}|=a+\frac{3}{2}，|P{F}_{2}|=a-\frac{3}{2}$。
步骤 3：应用余弦定理求解$a$
在△PF_1F_2中，由余弦定理得$cos∠{F}_{1}P{F}_{2}=\frac{1}{2}=\frac{{（a+\frac{3}{2}）}^{2}+{（a-\frac{3}{2}）}^{2}-3{a}^{2}}{2（a+\frac{3}{2}）（a-\frac{3}{2}）}$，解得${a}^{2}=\frac{27}{8}$。
步骤 4：计算三角形面积
${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}（a+\frac{3}{2}）（a-\frac{3}{2}）sin\frac{π}{3}=\frac{\sqrt{3}}{4}（{a}^{2}-\frac{9}{4}）=\frac{9\sqrt{3}}{32}$．
由题意得$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，即$c=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，其中$c$是焦距的一半，$a$是椭圆的半长轴。
步骤 2：利用椭圆的定义和已知条件求解
由椭圆定义知|PF_1|+|PF_2|=2a，|F_1F_2|=2c=$\sqrt{3}$a，又|PF_1|-|PF_2|=3，所以$|P{F}_{1}|=a+\frac{3}{2}，|P{F}_{2}|=a-\frac{3}{2}$。
步骤 3：应用余弦定理求解$a$
在△PF_1F_2中，由余弦定理得$cos∠{F}_{1}P{F}_{2}=\frac{1}{2}=\frac{{（a+\frac{3}{2}）}^{2}+{（a-\frac{3}{2}）}^{2}-3{a}^{2}}{2（a+\frac{3}{2}）（a-\frac{3}{2}）}$，解得${a}^{2}=\frac{27}{8}$。
步骤 4：计算三角形面积
${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}（a+\frac{3}{2}）（a-\frac{3}{2}）sin\frac{π}{3}=\frac{\sqrt{3}}{4}（{a}^{2}-\frac{9}{4}）=\frac{9\sqrt{3}}{32}$．