1.判断下列平面点集中哪些是开集、闭集、有界集、区域,并分别指出它们的聚点与界点:-|||-(1) [ a,b)times [ c,d);-|||-(2) (x,y)|xyneq 0 ;-|||-(3) (x,y)|xy=0 ;-|||-(4) (x,y)|ygt {x)^2} ;-|||-(5) (x,y)|xlt 2,ylt 2,x+ygt 2 ;-|||-(6) (x,y)|{x)^2+(y)^2=1 或 =0,0leqslant xleqslant 1} ;-|||-(7) (x,y)|{x)^2+(y)^2leqslant 1 或 =0,1leqslant xleqslant 2} ;-|||-(8) (x,y)|x,y 均为整数);-|||-(9) (x,y)|y=sin dfrac {1)(x),xgt 0} .

步骤 1：分析点集 (1) $[ a,b)\times [ c,d] $
该点集是有界集，但既不是开集也不是闭集。其聚点为 $[ a,b] \times [ c,d] $ 中任一点。界点为矩形 $[ a,b] \times [ c,d] $ 的四条边上的任一点。

步骤 2：分析点集 (2) $\{ (x,y)|xy\neq 0\} $
该点集为开集，不是有界集也不是区域。其聚点为平面上任一点，其界点为两坐标轴上的点。

步骤 3：分析点集 (3) $\{ (x,y)|xy=0\} $
该点集为无界闭集，不是开集也不是区域。其聚点为坐标轴上的任一点，而界点与聚点相同。

步骤 4：分析点集 (4) $\{ (x,y)|y\gt {x}^{2}\} $
该点集为开集，且为区域。聚点为满足 $y\geqslant {x}^{2}$ 上任一点，界点为 $y={x}^{2}$ 上的所有点。

步骤 5：分析点集 (5) $\{ (x,y)|x\lt 2,y\lt 2,x+y\gt 2\} $
该点集为有界开集。界点为直线 x=2 y=2 和 x+y=2 所围成的三角形三边上的点，聚点为 开集内的任一点和任一界点。

步骤 6：分析点集 (6) $\{ (x,y)|{x}^{2}+{y}^{2}=1或y=0,0\leqslant x\leqslant 1\} $
该点集为有界闭集。聚点为闭集中任一点，界点与聚点相同。

步骤 7：分析点集 (7) $\{ (x,y)|{x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 1或y=0,1\leqslant x\leqslant 2\} $
该点集为有界闭集。聚点为集合 $\{ (x,y)|{x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 1$ 或 $y=0,1\leqslant x\leqslant 2\} $ 中的所有点，界点为 聚点中除去 ${x}^{2}+{y}^{2}\lt 1$ 部分。

步骤 8：分析点集 (8){(x,y)|x,y均为整数}
该点集为闭集，没有聚点，界点为集合{(x,y)|x,y均为整数}中的全体点。

步骤 9：分析点集 (9) $\{ (x,y)|y=\sin \dfrac {1}{x},x\gt 0\} $
该点集为非开非闭的无界集。聚点为点(0,0)及曲线 $y=\sin \dfrac {1}{x}$ 上的点，界点与聚点相同。