3.设A,B为两事件,已知 (A)=dfrac (1)(3) . (A|B)=dfrac (2)(3) . (B|overline (A))=dfrac (1)(10), 求P(B).

步骤 1：利用条件概率公式
根据条件概率的定义，$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$，可以得到 $P(A \cap B) = P(A|B) \cdot P(B)$。已知 $P(A|B) = \frac{2}{3}$，所以 $P(A \cap B) = \frac{2}{3}P(B)$。

步骤 2：利用全概率公式
全概率公式为 $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B})$。已知 $P(A) = \frac{1}{3}$，所以 $\frac{1}{3} = \frac{2}{3}P(B) + P(A \cap \overline{B})$。

步骤 3：利用条件概率公式求 $P(A \cap \overline{B})$
根据条件概率的定义，$P(B|\overline{A}) = \frac{P(B \cap \overline{A})}{P(\overline{A})}$，可以得到 $P(B \cap \overline{A}) = P(B|\overline{A}) \cdot P(\overline{A})$。已知 $P(B|\overline{A}) = \frac{1}{10}$，$P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$，所以 $P(B \cap \overline{A}) = \frac{1}{10} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{15}$。因为 $P(A \cap \overline{B}) = P(\overline{B} \cap A) = P(\overline{A} \cap B)$，所以 $P(A \cap \overline{B}) = \frac{1}{15}$。

步骤 4：代入全概率公式求解 $P(B)$
将 $P(A \cap B) = \frac{2}{3}P(B)$ 和 $P(A \cap \overline{B}) = \frac{1}{15}$ 代入全概率公式 $\frac{1}{3} = \frac{2}{3}P(B) + \frac{1}{15}$，解得 $P(B) = \frac{1}{5}$。