4.设矩阵A= a 1 3 0 1 b 0 0 2 与矩阵B= 1 0 0 1 1 1 1 -1 3 相似,则 ()-|||-y-|||-(A) =2, =-3; (B) =2, neq -3; (C) neq 2, =-3; (D) neq 2b=

矩阵相似的条件是解题的核心。相似矩阵必须满足以下条件：

1. 特征值相同（包括代数重数）；
2. 几何重数相同（对应Jordan块结构一致）；
3. 秩、迹、行列式相等。

本题中，矩阵$A$和$B$相似，需通过特征值、几何重数等条件确定$a$和$b$的值。

步骤1：计算特征值

• 矩阵$B$的特征多项式为：
  $\det(B-\lambda I) = (1-\lambda)(\lambda-2)^2$
  特征值为$\lambda=1$（代数重数1）和$\lambda=2$（代数重数2）。

• 矩阵$A$为上三角矩阵，特征值为$a,1,2$。为与$B$的特征值一致，需$a=2$。

步骤2：验证几何重数

• 矩阵$B$中，$\lambda=2$的几何重数为1（通过秩计算）。
• 矩阵$A$中，当$a=2$时，$A-2I$的秩为：
  • 若$b \neq -3$，秩为2，几何重数为1，与$B$一致；
  • 若$b = -3$，秩为1，几何重数为2，与$B$不一致。

因此，必须满足$b \neq -3$。