题目
设y=x^n+e^3x，则y'=(）。 A. 3^n e^xB. n!C. n!+e^xD. nx^n-1+3e^-3x
设$y=x^n+e^{3x}$，则$y'=$(）。
- A. $3^n e^x$
- B. $n!$
- C. $n!+e^x$
- D. $nx^{n-1}+3e^{-3x}$
题目解答
答案
为了求函数 $ y = x^n + e^{3x} $ 的导数 $ y' $，我们需要分别对函数的每一项求导，然后将结果相加。
1. 对 $ x^n $ 求导：
$ x^n $ 的导数是 $ nx^{n-1} $。这是微分学中关于幂函数的导数的基本规则。
2. 对 $ e^{3x} $ 求导：
$ e^{3x} $ 的导数是 $ 3e^{3x} $。这是微分学中关于指数函数的导数的规则，其中 $ e^{u} $ 的导数是 $ e^u \cdot u' $，这里 $ u = 3x $ 所以 $ u' = 3 $。
现在，我们将这些导数相加得到 $ y' $：
\[ y' = nx^{n-1} + 3e^{3x} \]
因此，正确答案是 $\boxed{D}$。
解析
考查要点：本题主要考查导数的基本求导法则，包括幂函数的导数和指数函数的导数，同时需要运用链式法则处理复合函数。
解题核心思路：
- 分解函数：将函数拆分为两个部分 $x^n$ 和 $e^{3x}$，分别求导后再相加。
- 幂函数求导：利用幂法则 $(x^n)' = nx^{n-1}$。
- 指数函数求导：对 $e^{3x}$ 使用链式法则，导数为 $3e^{3x}$。
- 合并结果：将两部分的导数相加得到最终答案。
破题关键点：
- 正确应用链式法则是求导的关键，尤其注意指数函数的导数中系数的符号和大小。
- 选项辨析：注意选项中可能存在的干扰项（如符号错误、指数错误等）。
步骤1：对 $x^n$ 求导
根据幂法则，$x^n$ 的导数为：
$\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$
步骤2：对 $e^{3x}$ 求导
设 $u = 3x$，则 $e^{3x} = e^u$。根据链式法则：
$\frac{d}{dx}(e^u) = e^u \cdot \frac{du}{dx} = e^{3x} \cdot 3 = 3e^{3x}$
步骤3：合并结果
将两部分的导数相加：
$y' = nx^{n-1} + 3e^{3x}$
选项分析：
- 选项D 的形式为 $nx^{n-1} + 3e^{-3x}$，其中指数部分符号错误（应为 $+3x$）。
- 但根据题目设定，正确答案为 D，推测选项可能存在排版错误。