3.21设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为-|||-f(x,y)= -x-y,0lt xlt 1,0lt ylt 1,-|||-0, 其他,-|||-求 =x+y 的概率密度函数.

步骤 1：确定 $z=X+Y$ 的取值范围
由于 $X$ 和 $Y$ 的取值范围都是 $(0,1)$，所以 $z=X+Y$ 的取值范围是 $(0,2)$。

步骤 2：计算 $z=X+Y$ 的累积分布函数 $F_Z(z)$
$F_Z(z) = P(Z \leq z) = P(X+Y \leq z)$
根据 $X$ 和 $Y$ 的联合概率密度函数 $f(x,y)$，我们可以通过二重积分计算 $F_Z(z)$。
$F_Z(z) = \int_{0}^{z} \int_{0}^{z-x} f(x,y) \, dy \, dx$

步骤 3：计算 $z=X+Y$ 的概率密度函数 $f_Z(z)$
$f_Z(z) = \frac{d}{dz} F_Z(z)$
根据步骤 2 中的 $F_Z(z)$，我们可以通过求导计算 $f_Z(z)$。

步骤 4：分段计算 $f_Z(z)$
由于 $z$ 的取值范围是 $(0,2)$，我们需要分段计算 $f_Z(z)$。
- 当 $0 \leq z < 1$ 时，$f_Z(z) = z(2-z)$
- 当 $1 \leq z < 2$ 时，$f_Z(z) = (2-z)^2$
- 当 $z \geq 2$ 或 $z < 0$ 时，$f_Z(z) = 0$