3.21设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为-|||-f(x,y)= -x-y,0lt xlt 1,0lt ylt 1,-|||-0, 其他,-|||-求 =x+y 的概率密度函数.

考查要点：本题主要考查二维随机变量和的密度函数求解，需要掌握卷积公式的应用及积分区域的划分。

解题核心思路：

1. 确定Z的取值范围：由于X和Y均在[0,1]区间，故Z=X+Y的取值范围为[0,2]。
2. 分段讨论积分区域：
   • 当0 ≤ z < 1时，X和Y的取值范围均为[0, z]，积分区域为x从0到z。
   • 当1 ≤ z < 2时，X的取值范围为[z−1, 1]，积分区域为x从z−1到1。
3. 计算积分：在不同区间内对联合密度函数积分，得到Z的密度函数。

破题关键点：

• 正确划分积分区间是解题的核心，需结合X和Y的取值范围。
• 代入联合密度函数时注意变量替换后的表达式简化。

步骤1：确定Z的取值范围
X和Y均服从[0,1]区间，故Z = X + Y的取值范围为0 ≤ Z ≤ 2。

步骤2：分段讨论积分区域

• 当0 ≤ z < 1时：
  X和Y的取值范围均为[0, z]，积分区域为x从0到z，y = z − x。
  此时联合密度函数为：
  $f(x, z−x) = 2 − x − (z−x) = 2 − z.$
  积分结果为：
  $\int_{0}^{z} (2−z) \, dx = (2−z) \cdot z = z(2−z).$

• 当1 ≤ z < 2时：
  X的取值范围为[z−1, 1]，积分区域为x从z−1到1，y = z − x。
  此时联合密度函数仍为：
  $f(x, z−x) = 2 − z.$
  积分结果为：
  $\int_{z−1}^{1} (2−z) \, dx = (2−z) \cdot (1 − (z−1)) = (2−z)^2.$

• 其他情况：Z的密度函数为0。