题目
求指导本题解题过程，谢谢您！6、单选 设∑是球面 ^2+(y)^2+(z)^2=4,zgeqslant 0 的外-|||-侧,则曲面积分 (iint )_(2)^ydxdx+2dxdy= ()-|||-.-|||-(3分)-|||-A 4π-|||-B)8π-|||-C 12π-|||-D 2π
求指导本题解题过程，谢谢您！
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域
题目中给出的积分区域是球面 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=4$ 的上半部分，即 $z\geqslant 0$ 的外侧。这个球面的半径为2，中心在原点。
步骤 2：应用高斯公式
高斯公式（散度定理）表明，对于一个闭合曲面S，其上的第二型曲面积分可以转化为该曲面所围成的体积V上的三重积分。即
$$
\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_{V} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV
$$
其中，$\mathbf{F} = (yz, 0, 2)$，$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial (yz)}{\partial x} + \frac{\partial (0)}{\partial y} + \frac{\partial (2)}{\partial z} = 0 + 0 + 0 = 0$。因此，根据高斯公式，原积分可以转化为体积V上的三重积分，但由于散度为0，三重积分结果也为0。
步骤 3：计算曲面积分
由于高斯公式直接给出的结果为0，我们需要考虑曲面的边界。球面的上半部分的边界是圆 ${x}^{2}+{y}^{2}=4$，在z=0平面上。根据斯托克斯定理，曲面积分可以转化为边界上的线积分。但这里我们直接计算曲面积分，注意到在z=0平面上，$dz=0$，因此$yzdzdx=0$，而$2dxdy$的积分就是圆的面积乘以2，即$2\pi r^2=2\pi \cdot 2^2=8\pi$。
题目中给出的积分区域是球面 ${x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}=4$ 的上半部分，即 $z\geqslant 0$ 的外侧。这个球面的半径为2，中心在原点。
步骤 2：应用高斯公式
高斯公式（散度定理）表明，对于一个闭合曲面S，其上的第二型曲面积分可以转化为该曲面所围成的体积V上的三重积分。即
$$
\iint_{S} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_{V} \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV
$$
其中，$\mathbf{F} = (yz, 0, 2)$，$\nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial (yz)}{\partial x} + \frac{\partial (0)}{\partial y} + \frac{\partial (2)}{\partial z} = 0 + 0 + 0 = 0$。因此，根据高斯公式，原积分可以转化为体积V上的三重积分，但由于散度为0，三重积分结果也为0。
步骤 3：计算曲面积分
由于高斯公式直接给出的结果为0，我们需要考虑曲面的边界。球面的上半部分的边界是圆 ${x}^{2}+{y}^{2}=4$，在z=0平面上。根据斯托克斯定理，曲面积分可以转化为边界上的线积分。但这里我们直接计算曲面积分，注意到在z=0平面上，$dz=0$，因此$yzdzdx=0$，而$2dxdy$的积分就是圆的面积乘以2，即$2\pi r^2=2\pi \cdot 2^2=8\pi$。