已知甲袋中装有3只红球，2只白球，乙袋中装有 6 只红球4只白球，丙袋中装有 2 只红球 ，8只白球，随机地取一只袋子 ，再从该袋中随机地取一只球，求该球是红球的概率。

考查要点：本题主要考查全概率公式的应用，涉及条件概率的计算和互斥事件的概率叠加。

解题核心思路：

1. 确定互斥且穷尽的事件：选择甲、乙、丙三个袋子中的任意一个，这三个事件互斥且概率之和为1。
2. 计算每个事件下的条件概率：分别求出从每个袋子中取出红球的概率。
3. 应用全概率公式：将每个袋子被选中的概率与对应条件概率相乘后求和，得到最终结果。

破题关键点：

• 正确识别每个袋子的红球比例，避免计算错误。
• 确保全概率公式中的权重（袋子被选中的概率）分配正确，本题中每个袋子被选中的概率均为$\dfrac{1}{3}$。

步骤1：定义事件

• 事件$A_1$：选中甲袋；
• 事件$A_2$：选中乙袋；
• 事件$A_3$：选中丙袋；
• 事件$B$：取出的球是红球。

步骤2：计算各事件的概率

• 选袋概率：$P(A_1) = P(A_2) = P(A_3) = \dfrac{1}{3}$。
• 条件概率：
  • 甲袋红球概率：$P(B|A_1) = \dfrac{3}{3+2} = \dfrac{3}{5}$；
  • 乙袋红球概率：$P(B|A_2) = \dfrac{6}{6+4} = \dfrac{3}{5}$；
  • 丙袋红球概率：$P(B|A_3) = \dfrac{2}{2+8} = \dfrac{1}{5}$。

步骤3：应用全概率公式
$\begin{aligned}P(B) &= P(A_1)P(B|A_1) + P(A_2)P(B|A_2) + P(A_3)P(B|A_3) \\&= \dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{5} \\&= \dfrac{3}{15} + \dfrac{3}{15} + \dfrac{1}{15} \\&= \dfrac{7}{15}.\end{aligned}$