一、几何应用【例1】(2014,数三)设D是由曲线xy+1=0与直线y+x=0及y=2围成的有界区域，则D的面积为______.

考查要点：本题主要考查利用定积分计算平面区域的面积，涉及曲线交点的求解及积分区域的确定。

解题思路：

1. 确定交点：找到三条曲线两两之间的交点，明确区域边界。
2. 绘制图形：通过交点和曲线形状，确定积分区域。
3. 选择积分变量：根据区域形状，选择对$y$积分更简便。
4. 建立积分式：确定上下边界对应的$x$表达式，计算右边界与左边界之差的积分。

关键点：

• 双曲线与直线的交点需联立方程求解。
• 积分上下限由交点的$y$值确定（$y=1$到$y=2$）。
• 被积函数为右边界$x=-\frac{1}{y}$与左边界$x=-y$的差。

1. 求交点

• 曲线$xy+1=0$与直线$y+x=0$的交点：
  联立得$y=-x$，代入$xy=-1$得$x^2=1$，解得$x=1$或$x=-1$，对应交点$(1,-1)$和$(-1,1)$。

• 曲线$xy+1=0$与直线$y=2$的交点：
  代入$y=2$得$x=-\frac{1}{2}$，交点为$\left(-\frac{1}{2}, 2\right)$。

• 直线$y+x=0$与$y=2$的交点：
  代入$y=2$得$x=-2$，交点为$(-2, 2)$。

2. 确定积分区域

• 图形分析：区域$D$位于$y=1$到$y=2$之间，右边界为双曲线$x=-\frac{1}{y}$，左边界为直线$x=-y$。

3. 计算面积

积分表达式：
$\text{面积} = \int_{1}^{2} \left( -\frac{1}{y} - (-y) \right) \, dy = \int_{1}^{2} \left( y - \frac{1}{y} \right) \, dy$

积分计算：
$\begin{aligned}\int \left( y - \frac{1}{y} \right) \, dy &= \frac{y^2}{2} - \ln|y| + C, \\\text{代入上下限} \quad \left[ \frac{y^2}{2} - \ln y \right]_{1}^{2} &= \left( \frac{4}{2} - \ln 2 \right) - \left( \frac{1}{2} - \ln 1 \right) \\&= (2 - \ln 2) - \frac{1}{2} \\&= \frac{3}{2} - \ln 2.\end{aligned}$