4.设随机变量X的概率密度函数为 f(x)= ) k(3+2x),xin (2,4 0

步骤 1：求解k的值
根据概率密度函数的性质，整个定义域上的积分应等于1。因此，我们有：
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = 1
$$
由于f(x)在x属于(2,4)区间内为k(3+2x)，在其他区间内为0，因此积分可以简化为：
$$
\int_{2}^{4} k(3+2x)dx = 1
$$
计算积分：
$$
k\int_{2}^{4} (3+2x)dx = k\left[3x + x^2\right]_{2}^{4} = k\left[(3\cdot4 + 4^2) - (3\cdot2 + 2^2)\right] = k\left[12 + 16 - 6 - 4\right] = 18k
$$
因此，我们得到：
$$
18k = 1 \Rightarrow k = \frac{1}{18}
$$

步骤 2：求解X的分布函数F(x)
分布函数F(x)定义为：
$$
F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)dt
$$
根据f(x)的定义，我们分三种情况讨论：
- 当$x \leq 2$时，$f(x) = 0$，因此$F(x) = 0$。
- 当$2 < x < 4$时，$f(x) = \frac{1}{18}(3+2x)$，因此：
$$
F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)dt = \int_{2}^{x} \frac{1}{18}(3+2t)dt = \frac{1}{18}\left[3t + t^2\right]_{2}^{x} = \frac{1}{18}\left[3x + x^2 - 6 - 4\right] = \frac{1}{18}(x^2 + 3x - 10)
$$
- 当$x \geq 4$时，$f(x) = 0$，因此$F(x) = 1$。
综上所述，分布函数F(x)为：
$$
F(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
0, & x \leq 2 \\
\frac{1}{18}(x^2 + 3x - 10), & 2 < x < 4 \\
1, & x \geq 4
\end{array}
\right.
$$

步骤 3：求解$P\{1 < X \leq 3\}$
根据分布函数的定义，我们有：
$$
P\{1 < X \leq 3\} = F(3) - F(1)
$$
由于$F(x)$在$x \leq 2$时为0，因此$F(1) = 0$。而$F(3)$根据分布函数的定义为：
$$
F(3) = \frac{1}{18}(3^2 + 3\cdot3 - 10) = \frac{1}{18}(9 + 9 - 10) = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}
$$
因此，我们得到：
$$
P\{1 < X \leq 3\} = \frac{4}{9} - 0 = \frac{4}{9}
$$