题目
设A，B均为n阶可逆矩阵，则必有（ ）．A. +B可逆B. AB可逆C. A-B可逆D. AB+BA可逆E. AB-BA可逆
设A，B均为n阶可逆矩阵，则必有（ ）．
A. +B可逆
B. AB可逆
C. A-B可逆
D. AB+BA可逆
E. AB-BA可逆
题目解答
答案
B. AB可逆
解析
步骤 1：理解可逆矩阵的定义
可逆矩阵是指存在一个矩阵，使得该矩阵与其相乘的结果为单位矩阵。即，如果矩阵A是可逆的，那么存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵。
步骤 2：分析选项
A. A+B可逆：两个可逆矩阵的和不一定可逆。例如，如果A和B互为相反数，则A+B=0，而零矩阵是不可逆的。
B. AB可逆：两个可逆矩阵的乘积是可逆的。因为如果A和B都是可逆的，那么存在A^-1和B^-1，使得A^-1A=I和B^-1B=I。因此，(AB)^-1=B^-1A^-1，所以AB是可逆的。
C. A-B可逆：两个可逆矩阵的差不一定可逆。例如，如果A和B相等，则A-B=0，而零矩阵是不可逆的。
D. AB+BA可逆：两个可逆矩阵的乘积之和不一定可逆。这取决于A和B的具体形式。
E. AB-BA可逆：两个可逆矩阵的乘积之差不一定可逆。这同样取决于A和B的具体形式。
步骤 3：选择正确答案
根据上述分析，只有选项B是正确的，因为两个可逆矩阵的乘积是可逆的。
可逆矩阵是指存在一个矩阵，使得该矩阵与其相乘的结果为单位矩阵。即，如果矩阵A是可逆的，那么存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵。
步骤 2：分析选项
A. A+B可逆：两个可逆矩阵的和不一定可逆。例如，如果A和B互为相反数，则A+B=0，而零矩阵是不可逆的。
B. AB可逆：两个可逆矩阵的乘积是可逆的。因为如果A和B都是可逆的，那么存在A^-1和B^-1，使得A^-1A=I和B^-1B=I。因此，(AB)^-1=B^-1A^-1，所以AB是可逆的。
C. A-B可逆：两个可逆矩阵的差不一定可逆。例如，如果A和B相等，则A-B=0，而零矩阵是不可逆的。
D. AB+BA可逆：两个可逆矩阵的乘积之和不一定可逆。这取决于A和B的具体形式。
E. AB-BA可逆：两个可逆矩阵的乘积之差不一定可逆。这同样取决于A和B的具体形式。
步骤 3：选择正确答案
根据上述分析，只有选项B是正确的，因为两个可逆矩阵的乘积是可逆的。